Suites géométriques

Une suite géométrique vérifie $v_0 = 2$ et $q = 3$. Quelle est la valeur de $v_4$ ?

$v_4 = v_0 \cdot q^4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$

Vrai ou faux : si la raison $q$ d'une suite géométrique vérifie $0 < q < 1$ et que $v_0 > 0$, alors la suite est strictement décroissante.

Vrai : avec $v_0>0$ et $0<q<1$, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre inférieur à $1$, donc la suite décroît.

Une suite géométrique a pour premier terme $v_0=5$ et raison $q=\dfrac{1}{2}$. Calcule $v_3$ et précise si la suite est croissante ou décroissante.

On applique la formule du terme général $v_n=v_0\cdot q^n$, puis on détermine le sens de variation selon le signe de $v_0$ et la position de $q$ par rapport à $1$.

Calcule la somme $S = 1+2+4+8+\cdots+512$ (suite géométrique de raison $2$, $v_0=1$, dernier terme $512$).

On identifie d'abord le nombre de termes à partir du dernier terme donné, puis on applique la formule de la somme géométrique $S_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Une suite géométrique a pour termes $v_2=12$ et $v_5=96$. Détermine la raison $q$ (positive) et le premier terme $v_0$.

Le rapport de deux termes séparés de $k$ rangs est égal à $q^k$ ; on en déduit $q$ par racine cubique, puis $v_0$ en remontant à partir d'un terme connu.

Une suite géométrique vérifie $0<q<1$ et $v_0>0$. Explique pourquoi la somme $S_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ se rapproche d'une limite finie quand $n$ tend vers $+\infty$, et exprime cette limite.

C'est le principe de la somme d'une série géométrique convergente : lorsque $|q|<1$, $q^{n+1}\to0$, ce qui permet de calculer la limite de la somme partielle.