Propriétés du parallélogramme

Le parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriétés

Dans un parallélogramme $ABCD$ :
- les côtés opposés sont parallèles et de même longueur : $AB = CD$ et $AD = BC$ ;
- les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu ;
- les angles opposés sont égaux ;
- le centre du parallélogramme (intersection des diagonales) est un centre de symétrie.

Lien avec la symétrie centrale

Un parallélogramme $ABCD$ est l'image de lui-même par la symétrie centrale de centre $O$ (le point d'intersection des diagonales) : $A$ et $C$ sont symétriques par rapport à $O$ , de même que $B$ et $D$ .

Caractérisation

Si dans un quadrilatère $ABCD$ les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu, alors $ABCD$ est un parallélogramme.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un parallélogramme $ABCD$ , que peut-on dire des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ?

Corrigé

Une propriété fondamentale du parallélogramme : ses diagonales se coupent en leur milieu commun.

Exercice 2

Dans un parallélogramme $ABCD$ , $AB = 7$ cm. Combien mesure $CD$ ?

Corrigé

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : $CD = AB = 7$ cm.

Exercice 3

Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Corrigé

C'est la propriété caractéristique (réciproque) du parallélogramme, très utile pour démontrer qu'un quadrilatère en est un.

Exercice 4

$O$ est le centre d'un parallélogramme $ABCD$ . Quelle affirmation est correcte ?

Corrigé

$O$ , intersection des diagonales, est le milieu de $[AC]$ (et de $[BD]$ ) : $A$ et $C$ sont donc symétriques par rapport à $O$ .

Exercice 5

$ABCD$ est un quadrilatère tel que $(AB) \parallel (DC)$ et $AB = DC$ . Montre que $ABCD$ est un parallélogramme.

Corrigé

C'est l'une des propriétés caractéristiques du parallélogramme : deux côtés opposés parallèles et égaux suffisent à le démontrer.

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