La symétrie centrale

Symétrie centrale

Le symétrique d'un point $A$ par rapport à un point $O$ est le point $A'$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[AA']$ .

Propriétés conservées

La symétrie centrale conserve :
- les longueurs (la figure et son symétrique sont superposables) ;
- les angles ;
- les aires ;
- le parallélisme et l'alignement.

Construction

Pour construire le symétrique d'un point $A$ par rapport à $O$ : on trace la droite $(AO)$ , puis on place $A'$ sur cette droite tel que $OA' = OA$ , de l'autre côté de $O$ .

Symétrique d'une droite, d'un segment

Le symétrique d'un segment $[AB]$ par rapport à $O$ est un segment $[A'B']$ de même longueur, et $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

$O$ est le milieu de $[AA']$ . Que peut-on dire de $A'$ par rapport à $A$ ?

Corrigé

Par définition, si $O$ est le milieu de $[AA']$ , alors $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport au point $O$ .

Exercice 2

La symétrie centrale conserve les longueurs.

Corrigé

C'est une propriété fondamentale : une figure et son symétrique par rapport à un point sont superposables, donc les longueurs sont conservées.

Exercice 3

$OA = 5$ cm. Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ , combien mesure $OA'$ ?

Corrigé

$O$ est le milieu de $[AA']$ , donc $OA = OA' = 5$ cm.

Exercice 4

Le symétrique d'un segment $[AB]$ par rapport à $O$ est un segment $[A'B']$ :

Corrigé

La symétrie centrale conserve les longueurs et le parallélisme : $[A'B']$ a la même longueur que $[AB]$ et lui est parallèle.

Exercice 5

Explique pourquoi le symétrique d'un cercle de centre $C$ et de rayon $r$ , par rapport à un point $O$ , est un cercle de même rayon $r$ .

Corrigé

Une symétrie centrale conserve les distances : l'image d'un cercle est donc un cercle de même rayon, centré sur l'image du centre.

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