Calculer des longueurs avec Thalès

Appliquer Thalès à des problèmes concrets

Méthode rédactionnelle

1. Vérifier que les droites portant les côtés "petits" et "grands" sont bien sécantes en un même point.
2. Vérifier (ou admettre comme donnée) que les deux côtés "opposés" sont parallèles.
3. Écrire l'égalité des rapports de Thalès.
4. Substituer les valeurs connues et résoudre.

Exemple de rédaction

Dans le triangle $AMN$ et $ABC$ , les points $A, M, B$ sont alignés, ainsi que $A, N, C$ , et $(MN) \parallel (BC)$ .

D'après le théorème de Thalès :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

On utilise alors les valeurs numériques de l'énoncé pour calculer la longueur demandée par un produit en croix.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la première étape pour appliquer le théorème de Thalès dans un exercice ?

Corrigé

Avant d'écrire l'égalité des rapports, il faut vérifier les conditions d'application : alignement des points et parallélisme des droites.

Exercice 2

$AM = 6$ , $AB = 10$ , $AN = 9$ . Quelle est la valeur de $AC$ ?

Corrigé

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{6}{10} = \frac{9}{AC} \Rightarrow AC = \frac{9 \times 10}{6} = 15$ .

Exercice 3

On peut appliquer Thalès même si les points ne sont pas alignés comme demandé par le théorème.

Corrigé

L'alignement des points (sur les deux droites sécantes) est une condition indispensable pour appliquer le théorème de Thalès.

Exercice 4

Une échelle de $5$ m est posée contre un mur. Un point situé à $2$ m du sol sur l'échelle projette une ombre sur le mur à $1{,}6$ m. Si le sommet de l'échelle est à $4$ m du sol, quelle relation utiliser ?

Corrigé

Deux triangles emboîtés avec des côtés parallèles (le mur et la projection) forment une configuration de Thalès.

Exercice 5

Un poteau de $2$ m projette une ombre de $3$ m. Au même moment, un arbre projette une ombre de $12$ m. Quelle est la hauteur de l'arbre ? (Les rayons du soleil sont parallèles, situation de Thalès.)

Corrigé

Les ombres projetées par des rayons parallèles créent des triangles semblables : on applique le rapport hauteur/ombre, identique pour les deux objets.

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