Énoncé du théorème de Thalès

Le théorème de Thalès

Soient deux droites sécantes en un point $A$ , et deux droites $(BC)$ et $(MN)$ parallèles, avec $M$ sur $(AB)$ et $N$ sur $(AC)$ .

Si $(MN) \parallel (BC)$ , alors :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

$AB = 8$ cm, $AM = 3$ cm, $AC = 10$ cm. Comme $(MN) \parallel (BC)$ :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{3}{8} = \frac{AN}{10} \implies AN = \frac{3 \times 10}{8} = 3{,}75 \text{ cm}

Astuce : pour ne pas confondre les rapports, on écrit toujours "petit triangle sur grand triangle" du même côté de l'égalité.

Exercice 1

Dans la configuration de Thalès, si $(MN) \parallel (BC)$ , quelle égalité est correcte ?

Corrigé

Le théorème de Thalès donne l'égalité des rapports $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ .

Exercice 2

Pour appliquer le théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ doivent être :

Corrigé

Le théorème de Thalès s'applique uniquement si les deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Exercice 3

Le théorème de Thalès donne aussi l'égalité des rapports $\dfrac{MN}{BC}$ avec les deux autres rapports.

Corrigé

L'énoncé complet du théorème inclut trois rapports égaux : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ .

Exercice 4

$AM = 4$ cm, $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm, avec $(MN)\parallel(BC)$ . Calculer $AN$ .

Corrigé

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{AN}{9} \Rightarrow AN = \frac{4 \times 9}{6} = 6$ cm.

Exercice 5

$AB = 12$ cm, $AM = 5$ cm, $BC = 9{,}6$ cm, avec $(MN) \parallel (BC)$ . Calcule $MN$ en détaillant ta méthode.

Corrigé

On isole $MN$ en utilisant le rapport $\frac{AM}{AB}$ , déjà connu, égal à $\frac{MN}{BC}$ .

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