La réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer :

La réciproque de Thalès sert précisément à démontrer le parallélisme de deux droites à partir de l'égalité de rapports de longueurs.

$AM = 3$, $AB = 6$, $AN = 4$, $AC = 8$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{6} = 0{,}5$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{4}{8} = 0{,}5$. Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, $(MN) \parallel (BC)$.

Si les rapports $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ sont différents, alors $(MN)$ et $(BC)$ ne sont certainement pas parallèles.

Par contraposée de la réciproque de Thalès : si les rapports sont différents (et les points bien alignés), les droites ne peuvent pas être parallèles.

$AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3$, $AC = 7{,}5$. Que peut-on conclure ?

$\frac{2}{5} = 0{,}4$ et $\frac{3}{7{,}5} = 0{,}4$ : les rapports sont égaux, donc les droites sont parallèles par la réciproque de Thalès.

$A$, $M$, $B$ alignés avec $AM=4$, $MB=6$ ; $A$, $N$, $C$ alignés avec $AN=6$, $NC=9$. Démontre que $(MN) \parallel (BC)$.

On reconstitue $AB$ et $AC$ à partir des segments donnés, puis on compare les deux rapports pour appliquer la réciproque de Thalès.