Énoncé et démonstration

Le Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Énoncé formel

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $C$ . Alors :

AB^2 = AC^2 + BC^2

où $AB$ est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).

Réciproque

Si dans un triangle $ABC$ on a $AB^2 = AC^2 + BC^2$ , alors le triangle est rectangle en $C$ .

Exemple

Un triangle a pour côtés $AC = 3$ cm, $BC = 4$ cm. Calculons $AB$ :

AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

AB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

Le triplet $(3, 4, 5)$ est un triplet pythagoricien classique.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

Corrigé

$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ , donc $AB = \sqrt{100} = 10$ cm. Le triplet $(6, 8, 10)$ est un multiple du triplet $(3, 4, 5)$ .

Exercice 2

Un triangle a des côtés de longueurs 5, 12 et 13. Est-il rectangle ?

Corrigé

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ . Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est bien rectangle. $(5, 12, 13)$ est un triplet pythagoricien.

Exercice 3

La diagonale d'un carré de côté $a$ est égale à :

Corrigé

La diagonale forme un triangle rectangle isocèle. $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ , donc $d = a\sqrt{2}$ .

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