Distances et normes

Parmi les conditions suivantes, laquelle n'est PAS un axiome de distance ?

Les trois axiomes d'une distance sont la séparation, la symétrie et l'inégalité triangulaire. Rien n'impose que $d$ soit bornée par $1$ : la distance euclidienne sur $\mathbb{R}$, par exemple, prend des valeurs arbitrairement grandes.

Calculer $d_1((0,0),(3,4))$, $d_2((0,0),(3,4))$ et $d_\infty((0,0),(3,4))$ dans $\mathbb{R}^2$.

$d_1((0,0),(3,4)) = |3-0|+|4-0| = 7$. $d_2((0,0),(3,4)) = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ (le célèbre triangle $3$-$4$-$5$). $d_\infty((0,0),(3,4)) = \max(3,4) = 4$. On vérifie l'encadrement $d_\infty \leq d_2 \leq d_1$ : $4 \leq 5 \leq 7$. ✓

Vrai ou faux : la distance discrète sur un ensemble $E$ à au moins deux éléments est associée à une norme.

Faux. Une distance associée à une norme doit être homogène : $d(\lambda x,\lambda y) = |\lambda| d(x,y)$. Pour la distance discrète, $d(x,y)\in\{0,1\}$ toujours, ce qui contredit l'homogénéité dès que $|\lambda|\neq1$ et $x\neq y$ (par exemple $d(2x,2y)$ devrait être $2d(x,y)=2$, impossible puisque $d$ ne vaut que $0$ ou $1$).

Dans $(\mathbb{R}^2,d_\infty)$, quelle est la forme géométrique de la boule ouverte $B((0,0),1)$ ?

$d_\infty(0,x)<1 \iff \max(|x_1|,|x_2|)<1 \iff |x_1|<1$ et $|x_2|<1$. C'est exactement l'intérieur du carré $]-1,1[\times]-1,1[$, à côtés parallèles aux axes.

Soit $A=\{1,2,3\}\subset\mathbb{R}$. Calculer $\operatorname{diam}(A)$ pour la distance usuelle.

$\operatorname{diam}(A) = \sup_{x,y\in A}|x-y|$. Comme $A$ est fini, ce sup est un max, atteint entre les deux points les plus éloignés : $1$ et $3$. $\operatorname{diam}(A) = |3-1| = 2$.

Montrer que $d(x,y) = |x^3-y^3|$ définit une distance sur $\mathbb{R}$.

Posons $\varphi(t)=t^3$. Comme $\varphi$ est une bijection strictement croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, on vérifie : Séparation : $d(x,y)=0 \iff |x^3-y^3|=0 \iff x^3=y^3 \iff x=y$ (par injectivité de $\varphi$). Symétrie : $|x^3-y^3|=|y^3-x^3|$, immédiat. Inégalité triangulaire : $d(x,z)=|x^3-z^3| = |(x^3-y^3)+(y^3-z^3)| \leq |x^3-y^3|+|y^3-z^3| = d(x,y)+d(y,z)$, par l'inégalité triangulaire de $|\cdot|$ sur $\mathbb{R}$. Les trois axiomes sont vérifiés : $d$ est bien une distance (ce n'est pas la distance associée à une norme car elle n'est pas homogène : $d(\lambda x,0)=|\lambda|^3|x|^3 \neq |\lambda| d(x,0)$ en général).

Vrai ou faux : pour tous $x,y\in\mathbb{R}^n$, on a toujours $d_1(x,y) \leq n\,d_2(x,y)$.

Vrai. On sait que $d_\infty \leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$. En particulier $d_1 \leq n\,d_\infty \leq n\,d_2$ (car $d_\infty\leq d_2$). Donc $d_1(x,y)\leq n\,d_2(x,y)$ est bien vérifié, même si ce n'est pas la meilleure constante possible dans tous les cas.

Soit $A=\,]0,2[\,\cup\,]3,5[$ dans $\mathbb{R}$. Calculer $d(1,A)$ et $d(2{,}5,A)$.

Comme $1 \in \,]0,2[\subset A$, on a $d(1,A)=0$ (un point de $A$ est à distance nulle de lui-même). Pour $x=2{,}5$ : $d(2{,}5,\,]0,2[) = \inf_{a<2}|2{,}5-a| = 2{,}5-2 = 0{,}5$ (approché en $a\to2^-$), et $d(2{,}5,\,]3,5[) = \inf_{a>3}|2{,}5-a| = 3-2{,}5 = 0{,}5$ (approché en $a\to3^+$). Donc $d(2{,}5,A) = \min(0{,}5\,;\,0{,}5) = 0{,}5$, non atteint dans $A$.

Soit $E=\mathbb{R}^2$ muni de $d_1$. Calculer le diamètre de la boule fermée $\overline{B}((0,0),1)$.

$\overline{B}(0,1)$ pour $d_1$ est le losange de sommets $(\pm1,0)$, $(0,\pm1)$. Les deux points les plus éloignés selon $d_1$ sont par exemple $(1,0)$ et $(-1,0)$ : $d_1((1,0),(-1,0))=|1-(-1)|+|0-0|=2$. On peut vérifier qu'aucune paire de points de la boule ne donne une distance $d_1$ supérieure à $2$ (inégalité triangulaire), donc $\operatorname{diam}=2$.

Montrer que pour toute partie bornée non vide $A$ et tout $x\in E$, on a $d(x,A) \leq d(x,a_0)$ pour un certain $a_0 \in A$, et que $d(x,A) \leq \operatorname{diam}(A) + d(x,a_0)$ n'est pas la bonne majoration : donner la majoration correcte de $d(x,A)$ en fonction de $d(x,a_0)$ uniquement.

Par définition $d(x,A) = \inf_{a\in A} d(x,a)$. Pour tout $a_0 \in A$ fixé, $d(x,a_0)$ est une valeur particulière de l'ensemble $\{d(x,a): a\in A\}$, et la borne inférieure est par définition $\leq$ à toute valeur de cet ensemble. Donc $d(x,A) \leq d(x,a_0)$, sans terme additif de diamètre : c'est la majoration la plus simple et la plus utile en pratique (elle ne nécessite de connaître qu'un seul point de $A$).

Soit $(E,d)$ un espace métrique et $A,B$ deux parties bornées non vides. Montrer que $A\cup B$ est bornée et que $\operatorname{diam}(A\cup B) \leq \operatorname{diam}(A)+\operatorname{diam}(B)+d(A,B)$.

Soient $x,y \in A\cup B$. Trois cas : si $x,y\in A$, $d(x,y)\leq\operatorname{diam}(A)$. Si $x,y\in B$, $d(x,y)\leq\operatorname{diam}(B)$. Si $x\in A, y\in B$ (ou inversement) : fixons $\varepsilon>0$ et choisissons (par définition de l'inf) $a\in A, b\in B$ tels que $d(a,b) \leq d(A,B)+\varepsilon$. Par inégalité triangulaire répétée, $d(x,y) \leq d(x,a)+d(a,b)+d(b,y) \leq \operatorname{diam}(A) + (d(A,B)+\varepsilon) + \operatorname{diam}(B)$. Comme $\varepsilon>0$ est arbitraire, $d(x,y) \leq \operatorname{diam}(A)+\operatorname{diam}(B)+d(A,B)$. Dans tous les cas, $d(x,y)$ est majoré par cette quantité finie (car $A,B$ bornées), donc $A\cup B$ est bornée et $\operatorname{diam}(A\cup B) \leq \operatorname{diam}(A)+\operatorname{diam}(B)+d(A,B)$.

Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ et $d_\infty(f,g) = \sup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)|$. Vérifier que $d_\infty$ est bien définie (finie) et que c'est une distance.

Finitude : $f,g$ continues sur $[0,1]$ compact, donc $f-g$ est continue sur $[0,1]$, donc bornée (théorème des bornes atteintes), donc le $\sup_{t}|f(t)-g(t)|$ est bien un réel fini. Séparation : $d_\infty(f,g)=0 \iff \sup_t|f(t)-g(t)|=0 \iff \forall t, f(t)=g(t) \iff f=g$. Symétrie : évidente. Inégalité triangulaire : pour tout $t$, $|f(t)-h(t)| \leq |f(t)-g(t)|+|g(t)-h(t)| \leq d_\infty(f,g)+d_\infty(g,h)$ ; en passant au sup sur $t$ à gauche, $d_\infty(f,h) \leq d_\infty(f,g)+d_\infty(g,h)$. C'est la distance de la convergence uniforme, fondamentale en analyse fonctionnelle.

Soit $A\subset E$ une partie non vide d'un espace métrique. Montrer que l'application $x \mapsto d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne, c'est-à-dire $|d(x,A)-d(y,A)| \leq d(x,y)$ pour tous $x,y \in E$.

Pour tout $a\in A$, l'inégalité triangulaire donne $d(x,a) \leq d(x,y)+d(y,a)$. Donc $d(x,A) \leq d(x,a) \leq d(x,y)+d(y,a)$ pour tout $a$ ; en passant à la borne inférieure sur $a\in A$ dans le membre de droite, $d(x,A) \leq d(x,y) + d(y,A)$. En échangeant les rôles de $x$ et $y$ (la situation est symétrique) : $d(y,A) \leq d(x,y)+d(x,A)$. Ces deux inégalités se réécrivent $d(x,A)-d(y,A) \leq d(x,y)$ et $d(y,A)-d(x,A) \leq d(x,y)$, soit $|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$. Cette propriété (la fonction distance à une partie est $1$-lipschitzienne, donc continue) est centrale pour la suite du cours de topologie.

Vrai ou faux : si $A$ et $B$ sont deux parties bornées de $(E,d)$ avec $A\cap B \neq \emptyset$, alors $\operatorname{diam}(A\cup B) \leq \operatorname{diam}(A)+\operatorname{diam}(B)$.

Vrai. Soit $c \in A\cap B$. Pour $x\in A, y\in B$ : $d(x,y) \leq d(x,c)+d(c,y) \leq \operatorname{diam}(A)+\operatorname{diam}(B)$ (car $x,c\in A$ et $c,y\in B$). Combiné aux cas $x,y$ tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$ (majorés respectivement par $\operatorname{diam}(A)$ et $\operatorname{diam}(B)$, donc par la somme), on obtient $\operatorname{diam}(A\cup B)\leq\operatorname{diam}(A)+\operatorname{diam}(B)$. C'est un cas particulier (plus précis) de l'exercice avec $d(A,B)=0$ puisque $A\cap B\neq\emptyset$.

Soit $E=\mathbb{R}^2$. Construire un exemple de deux distances $d$ et $d'$ sur $E$ qui ne sont PAS équivalentes au sens où elles ne définissent pas la même notion de partie bornée (indication : utiliser une distance bornée du type $d'(x,y)=\min(1,d_2(x,y))$ et comparer les parties bornées).

Posons $d'(x,y) = \min(1, d_2(x,y))$. On vérifie que $d'$ est bien une distance (les axiomes se vérifient sans difficulté, l'inégalité triangulaire utilisant que $\min(1,\cdot)$ est sous-additive sur les sommes de réels positifs). Pour $d'$, l'espace $E=\mathbb{R}^2$ tout entier est borné : $\operatorname{diam}_{d'}(E) \leq 1$, car $d'(x,y)\leq1$ toujours. En revanche, pour $d_2$, $E$ n'est pas borné : $\operatorname{diam}_{d_2}(E) = +\infty$ (on peut prendre $x,y$ arbitrairement loin). Ainsi $d_2$ et $d'$ ne sont pas équivalentes au sens de la notion de partie bornée, même si elles engendrent les mêmes ouverts (même topologie) — ce qui montre que l'équivalence topologique (mêmes ouverts) est une notion strictement plus faible que l'équivalence métrique au sens de bi-lipschitzianité.