Ouverts, fermés et voisinages

Dans $\mathbb{R}$, l'intervalle $[0,1[$ est-il ouvert, fermé, ni l'un ni l'autre ?

$[0,1[$ n'est pas ouvert car aucune boule centrée en $0$ n'est incluse dans $[0,1[$ (toute boule $]-r,r[$ contient des points négatifs). Il n'est pas fermé car son complémentaire $]-\infty,0[\cup[1,+\infty[$ n'est pas ouvert (le point $1$ n'a pas de boule incluse dans ce complémentaire, puisque les points juste avant $1$ sont dans $[0,1[$).

Vrai ou faux : une réunion infinie d'ouverts est toujours un ouvert.

Vrai. C'est une propriété valable pour une réunion quelconque (finie ou infinie) d'ouverts, contrairement à l'intersection où seul le cas fini est garanti.

Vrai ou faux : une intersection infinie d'ouverts est toujours un ouvert.

Faux. Contre-exemple classique : $\bigcap_{n\geq1}\,]-1/n,1/n[ = \{0\}$, qui n'est pas ouvert dans $\mathbb{R}$.

Dans $\mathbb{R}$, que vaut l'adhérence $\overline{\mathbb{Q}}$ de l'ensemble des rationnels ?

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ : tout réel est limite d'une suite de rationnels (par exemple ses troncatures décimales). Donc $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$.

Donner un exemple de partie de $\mathbb{R}$ qui est à la fois ouverte et fermée, autre que $\emptyset$ et $\mathbb{R}$, ou justifier qu'il n'en existe pas.

Il n'existe pas d'autre exemple dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$. C'est une conséquence du fait que $\mathbb{R}$ est connexe (notion vue dans la leçon suivante) : dans un espace connexe, les seules parties simultanément ouvertes et fermées sont $\emptyset$ et l'espace entier. (Dans un espace discret en revanche, toute partie est ouverte et fermée — la situation est très différente.)

Déterminer l'intérieur, l'adhérence et la frontière de $A=\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{R}$.

Intérieur : $\mathring{\mathbb{Z}}=\emptyset$ car tout intervalle ouvert non vide contient des nombres non entiers, donc aucune boule n'est incluse dans $\mathbb{Z}$. Adhérence : $\mathbb{Z}$ est fermé (son complémentaire $\bigcup_{n}\,]n,n+1[$ est une réunion d'ouverts, donc ouvert), donc $\overline{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}$. Frontière : $\partial\mathbb{Z}=\overline{\mathbb{Z}}\setminus\mathring{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}\setminus\emptyset=\mathbb{Z}$. Chaque point de $\mathbb{Z}$ est donc un point frontière, ce qui est cohérent avec l'intuition de points isolés.

Montrer que dans un espace métrique $(E,d)$, le singleton $\{a\}$ est toujours fermé.

Soit $x \neq a$. Par séparation, $d(x,a)>0$ ; posons $r=d(x,a)$. Si $y\in B(x,r)$, alors $d(x,y)<r=d(x,a)$, donc $y\neq a$ (sinon $d(x,y)=d(x,a)=r$, ce qui contredirait $d(x,y)<r$). Ainsi $B(x,r)\subset E\setminus\{a\}$ : le complémentaire de $\{a\}$ est ouvert (chacun de ses points possède une boule incluse dans lui), donc $\{a\}$ est fermé.

Vrai ou faux : si $V$ est un voisinage de $x$ et $V\subset W$, alors $W$ est aussi un voisinage de $x$.

Vrai. $V$ voisinage de $x$ signifie qu'il existe $r>0$ avec $B(x,r)\subset V$. Comme $V\subset W$, on a aussi $B(x,r)\subset W$, donc $W$ est un voisinage de $x$. Les voisinages d'un point forment un système stable par sur-ensemble.

Soit $A,B$ deux parties de $E$. Montrer que $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup\overline{B}$.

Sens $\subset$ : $\overline{A}\cup\overline{B}$ est une réunion finie de deux fermés, donc c'est un fermé contenant $A\cup B$. Comme $\overline{A\cup B}$ est le plus petit fermé contenant $A\cup B$, on a $\overline{A\cup B}\subset\overline{A}\cup\overline{B}$. Sens $\supset$ : $A\subset A\cup B$ donc $\overline{A}\subset\overline{A\cup B}$ (l'adhérence est croissante pour l'inclusion, car le plus petit fermé contenant un sur-ensemble contient le plus petit fermé contenant le sous-ensemble). De même $\overline{B}\subset\overline{A\cup B}$. Donc $\overline{A}\cup\overline{B}\subset\overline{A\cup B}$. Les deux inclusions donnent l'égalité. (Attention : ce résultat est faux pour une réunion infinie, par exemple $\overline{\bigcup_n \{1/n\}} = \{1/n : n\geq1\}\cup\{0\}$ alors que $\bigcup_n\overline{\{1/n\}}=\{1/n:n\geq1\}$ ne contient pas $0$.)

Montrer que $\mathring{A}\cap\mathring{B} = \operatorname{int}(A\cap B)$ pour toutes parties $A,B$ de $E$.

Sens $\subset$ : comme $A\cap B\subset A$, on a $\operatorname{int}(A\cap B)\subset\mathring A$ (croissance de l'opérateur intérieur). De même $\operatorname{int}(A\cap B)\subset\mathring B$. Donc $\operatorname{int}(A\cap B)\subset\mathring A\cap\mathring B$. Sens $\supset$ : $\mathring A\cap\mathring B$ est une intersection finie de deux ouverts, donc c'est un ouvert. Il est inclus dans $A\cap B$ (car $\mathring A\subset A$ et $\mathring B\subset B$). Comme $\operatorname{int}(A\cap B)$ est le plus grand ouvert inclus dans $A\cap B$, on a $\mathring A\cap\mathring B\subset\operatorname{int}(A\cap B)$. D'où l'égalité (contrairement à la réunion, ce résultat est valable même si l'on remplace l'intersection finie par une intersection... non, attention, ceci reste vrai seulement pour un nombre fini d'ensembles, par dualité avec le résultat sur $\overline{A\cup B}$).

Soit $A\subset E$. Montrer que $\partial A = \partial(E\setminus A)$ (la frontière d'un ensemble égale la frontière de son complémentaire).

Rappel des relations de dualité : $\overline{A} = E\setminus\operatorname{int}(E\setminus A)$ et $\mathring{A} = E\setminus\overline{E\setminus A}$. Alors $\partial A = \overline{A}\setminus\mathring{A} = \overline{A}\cap(E\setminus\mathring{A}) = \overline{A}\cap\overline{E\setminus A}$ (en utilisant $E\setminus\mathring A=\overline{E\setminus A}$). Cette expression est symétrique en $A$ et $E\setminus A$ : $\overline{A}\cap\overline{E\setminus A} = \overline{E\setminus A}\cap\overline{E\setminus(E\setminus A)} = \partial(E\setminus A)$. Donc $\partial A=\partial(E\setminus A)$. Intuitivement, la frontière sépare $A$ de son complémentaire, donc elle est commune aux deux.

Vrai ou faux : $x \in \mathring A$ si et seulement si $A$ est un voisinage de $x$.

Vrai. Par définition, $A$ est un voisinage de $x$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset A$ — c'est exactement la définition de $x\in\mathring A$. Les deux notions coïncident.

Soit $E=\mathbb{R}^2$ et $A=\{(x,y) : x^2+y^2<1\}$ (disque ouvert unité). Déterminer $\partial A$.

$A$ est ouvert (boule ouverte pour $d_2$), donc $\mathring A=A$. Son adhérence est $\overline{A}=\{(x,y):x^2+y^2\leq1\}$ (le disque fermé : tout point du cercle est limite de points de $A$, par exemple en suivant le rayon depuis l'origine). Donc $\partial A=\overline{A}\setminus\mathring A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$, le cercle unité — conforme à l'intuition géométrique de « bord » du disque.

Montrer que dans l'espace discret $(E,d)$ (où $d(x,y)=1$ pour $x\neq y$), toute partie $A\subset E$ est à la fois ouverte et fermée.

Soit $x \in A$. La boule $B(x,1/2) = \{y : d(x,y)<1/2\}$. Or pour $y\neq x$, $d(x,y)=1 \not<1/2$. Donc $B(x,1/2)=\{x\}\subset A$. Ceci montre que $A$ est ouvert, quel que soit $A$. Comme tout sous-ensemble de $E$ est ouvert, en particulier $E\setminus A$ est ouvert, donc $A$ est aussi fermé. Conclusion : dans l'espace discret, toutes les parties sont simultanément ouvertes et fermées — la topologie discrète est l'opposé de la topologie connexe de $\mathbb{R}$.

Soit $(F_n)_{n\geq1}$ une suite de fermés non vides de $\mathbb{R}$, emboîtés ($F_{n+1}\subset F_n$) et bornés, avec $\operatorname{diam}(F_n)\to0$. Que peut-on dire de $\bigcap_{n\geq1}F_n$ ? (Théorème des fermés emboîtés, admis pour $\mathbb{R}$ complet.)

$\bigcap_{n\geq1}F_n$ est réduite à exactement un point. C'est le théorème des fermés emboîtés (ou théorème de Cantor), valable car $\mathbb{R}$ est complet. Idée de preuve : on choisit $x_n\in F_n$ pour chaque $n$ ; comme $F_n$ sont emboîtés et de diamètre tendant vers $0$, $(x_n)$ est une suite de Cauchy, donc converge (complétude) vers une limite $\ell$. Comme chaque $F_n$ est fermé et contient $x_k$ pour tout $k\geq n$, on a $\ell\in F_n$ pour tout $n$ (caractérisation séquentielle des fermés), donc $\ell\in\bigcap_n F_n$. L'unicité vient du diamètre qui tend vers $0$ : deux points de l'intersection seraient à distance $\leq\operatorname{diam}(F_n)$ pour tout $n$, donc à distance $0$. Ce théorème est l'un des outils centraux qui permettront de prouver la compacité des fermés bornés de $\mathbb{R}^n$ dans la leçon suivante.