L'addition de vecteurs

La relation de Chasles

Pour trois points $A$ , $B$ , $C$ quelconques, on a toujours :

\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

C'est la relation de Chasles, très utile pour simplifier des sommes de vecteurs.

Additionner des vecteurs par leurs coordonnées

Si $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ , alors :

\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}

Exemple

$\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$ :

\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}3+(-1)\\2+5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}

Composer deux translations

Composer deux translations successives (de vecteurs $\vec{u}$ puis $\vec{v}$ ) équivaut à une seule translation, de vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Selon la relation de Chasles, à quoi est égal $\vec{AB} + \vec{BC}$ ?

Corrigé

La relation de Chasles donne $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ .

Exercice 2

Vrai ou faux : pour additionner deux vecteurs donnés par leurs coordonnées, on additionne les coordonnées correspondantes.

Corrigé

Vrai, on additionne les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.

Exercice 3

Soit $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ . Quelles sont les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

Corrigé

$\begin{pmatrix}2+4\\-3+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}$ .

Exercice 4

Simplifie l'expression $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$ .

Corrigé

La relation de Chasles se généralise à n'importe quelle chaîne de vecteurs « bout à bout » : tous les points intermédiaires se simplifient.

Exercice 5

Un point $M$ subit la translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ , puis celle de vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}$ . Si $M(2;0)$ , quelles sont les coordonnées du point final ?

Corrigé

On peut additionner les vecteurs des deux translations successives pour obtenir directement le résultat final en une seule étape.

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