La translation

Qu'est-ce qu'une translation ?

Une translation est une transformation géométrique qui déplace tous les points d'une figure dans la même direction, le même sens et de la même longueur, définis par un vecteur $\vec{u}$ .

Si $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ , alors $\vec{MM'} = \vec{u}$ .

Propriétés conservées

Comme la symétrie, la translation conserve :

- les longueurs,
- les angles,
- les aires,
- le parallélisme.

Contrairement à la symétrie axiale, la translation conserve aussi le sens de parcours d'une figure (elle ne « retourne » pas la figure).

Exemple

On translate le point $A(2;3)$ par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$ . Son image $A'$ a pour coordonnées :

x_{A'} = 2+4=6 \qquad y_{A'} = 3-1=2

A'(6;2)

Exercices de la leçon

Exercice 1

Une translation est définie par un vecteur $\vec{u}$ . Que peut-on dire du vecteur $\vec{MM'}$ , où $M'$ est l'image de $M$ ?

Corrigé

Par définition de la translation, le vecteur $\vec{MM'}$ est égal au vecteur de translation $\vec{u}$ pour tous les points.

Exercice 2

Vrai ou faux : une translation conserve les longueurs et les angles.

Corrigé

Vrai, comme toute transformation isométrique, la translation conserve longueurs, angles et aires.

Exercice 3

Le point $B(5;1)$ est translaté par le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ . Quelles sont les coordonnées de l'image $B'$ ?

Corrigé

$x_{B'}=5-2=3$ et $y_{B'}=1+3=4$ , donc $B'(3;4)$ .

Exercice 4

Un triangle $ABC$ d'aire $20$ cm² subit une translation. Quelle est l'aire de son image $A'B'C'$ ?

Corrigé

Comme la symétrie, la translation conserve les longueurs, les angles, et donc également les aires des figures.

Exercice 5

Le point $A(1;1)$ a pour image $A'(5;4)$ par une translation de vecteur $\vec{u}$ . Quelles sont les coordonnées de $\vec{u}$ , et quelle est l'image $B'$ du point $B(2;-3)$ par cette même translation ?

Corrigé

Toute translation est définie par un seul vecteur, valable pour tous les points du plan : on le retrouve avec un couple point/image connu, puis on l'applique à un autre point.

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