La notion de vecteur

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur représente un déplacement : il indique une direction, un sens et une longueur (sa norme). On note un vecteur $\vec{AB}$ lorsqu'il représente le déplacement du point $A$ vers le point $B$ .

Un vecteur n'a pas de position fixe dans le plan : seuls sa direction, son sens et sa longueur comptent.

Vecteurs égaux

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati), c'est-à-dire s'ils ont :

- la même direction,
- le même sens,
- la même longueur.

Les coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées :

\vec{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix}

Exemple

Si $A(1; 2)$ et $B(4; 6)$ , alors :

\vec{AB}\begin{pmatrix}4-1 \\ 6-2\end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Qu'est-ce qui caractérise un vecteur ?

Corrigé

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur (sa norme), pas par sa position.

Exercice 2

Vrai ou faux : $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$ ont la même direction mais des sens opposés.

Corrigé

Vrai, $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$ ont la même direction et la même longueur, mais des sens opposés.

Exercice 3

Soit $A(2; 1)$ et $B(5; 3)$ . Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

Corrigé

$\vec{AB}\begin{pmatrix}5-2\\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .

Exercice 4

Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$ . Si $C(3;4)$ et $\vec{CD}=\vec{u}$ , quelles sont les coordonnées de $D$ ?

Corrigé

On ajoute les coordonnées du vecteur à celles du point de départ pour retrouver le point d'arrivée.

Exercice 5

Les points $A(0;0)$ , $B(4;2)$ , $C(6;5)$ , $D(2;3)$ sont-ils tels que $\vec{AB} = \vec{DC}$ ?

Corrigé

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont exactement les mêmes coordonnées.

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