Construire un triangle

Construire un triangle connaissant trois côtés

Pour construire un triangle $ABC$ dont on connaît les trois longueurs $AB$ , $BC$ et $AC$ :

1. Vérifier l'inégalité triangulaire.
2. Tracer le segment $[AB]$ à la bonne longueur.
3. Tracer un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $AC$ .
4. Tracer un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $BC$ .
5. Le point $C$ est à l'intersection des deux arcs.

Construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle entre eux

1. Tracer l'un des deux côtés connus, par exemple $[AB]$ .
2. À l'aide du rapporteur, tracer une demi-droite depuis $A$ formant l'angle voulu avec $[AB]$ .
3. Reporter la longueur du deuxième côté sur cette demi-droite pour positionner $C$ .
4. Relier $B$ et $C$ .

Construire un triangle connaissant un côté et deux angles

1. Tracer le côté connu, par exemple $[AB]$ .
2. Tracer l'angle connu en $A$ , puis l'angle connu en $B$ , chacun avec le rapporteur.
3. Le point $C$ se trouve à l'intersection des deux demi-droites tracées.

Pour ces deux dernières méthodes, un seul triangle est généralement possible (à une symétrie près) : c'est ce qu'on appelle un cas de construction.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Pour construire un triangle connaissant ses trois côtés, quel instrument utilise-t-on principalement (en plus de la règle) ?

Corrigé

On utilise le compas pour tracer les deux arcs de cercle qui se croisent au troisième sommet.

Exercice 2

Vrai ou faux : avant de construire un triangle à partir de trois longueurs, il faut vérifier l'inégalité triangulaire.

Corrigé

Vrai, sinon le triangle ne peut pas exister et la construction échouera.

Exercice 3

Pour construire un triangle connaissant deux côtés et l'angle entre eux, quel instrument est indispensable ?

Corrigé

Le rapporteur permet de tracer précisément l'angle donné entre les deux côtés connus.

Exercice 4

Décris les étapes pour construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 6$ cm, $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{B} = 60°$ .

Corrigé

Connaissant un côté et les deux angles adjacents, le triangle est entièrement déterminé : on trace les deux demi-droites qui se croisent en $C$ .

Exercice 5

On veut construire un triangle $ABC$ avec $AB=5$ cm, $AC=4$ cm et $BC=10$ cm. Est-ce possible ?

Corrigé

Avant toute construction, il faut systématiquement vérifier l'inégalité triangulaire : ici elle n'est pas respectée.

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