L'inégalité triangulaire

La condition d'existence d'un triangle

Pour que trois longueurs $a$ , $b$ et $c$ puissent former un triangle, il faut que la plus grande longueur soit strictement inférieure à la somme des deux autres.

\text{si } c \text{ est la plus grande longueur, alors } c < a + b

C'est l'inégalité triangulaire. Si cette condition n'est pas respectée, les trois segments ne peuvent pas se fermer pour former un triangle.

Exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm ?

La plus grande longueur est $5$ . On vérifie : $5 < 3 + 4 = 7$ . ✓ C'est possible.

Contre-exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $2$ cm, $3$ cm et $7$ cm ?

La plus grande longueur est $7$ . On vérifie : $7 < 2+3 = 5$ ? Non, $7$ n'est pas inférieur à $5$ . ✗ Ce n'est pas possible : les deux petits côtés sont trop courts pour « rejoindre » le grand côté.

Si $c = a+b$ exactement, les trois points sont alignés : on n'obtient pas un vrai triangle, mais un segment.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Peut-on construire un triangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm ?

Corrigé

$6+8=14$ et $10 < 14$ , donc l'inégalité triangulaire est respectée : le triangle existe.

Exercice 2

Vrai ou faux : on peut construire un triangle de côtés $2$ cm, $2$ cm et $5$ cm.

Corrigé

Faux : $2+2=4$ , et $5$ n'est pas inférieur à $4$ . Le triangle n'existe pas.

Exercice 3

Pour quelles longueurs l'inégalité triangulaire est-elle respectée parmi ces trio ?

Corrigé

Pour $5,6,7$ : la plus grande longueur est $7 < 5+6=11$ . ✓ Les autres trios ne respectent pas la condition.

Exercice 4

Un triangle a deux côtés de $5$ cm et $9$ cm. Entre quelles valeurs (strictement) doit se trouver le troisième côté $c$ ?

Corrigé

On applique l'inégalité triangulaire dans les deux sens : le troisième côté doit être à la fois assez grand pour fermer le triangle et assez petit pour ne pas dépasser la somme des deux autres.

Exercice 5

Peut-on construire un triangle de côtés $7$ cm, $7$ cm et $14$ cm ? Justifie.

Corrigé

Lorsque la plus grande longueur est exactement égale à la somme des deux autres, les points sont alignés et ne forment pas un triangle.

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