La somme des angles d'un triangle

La propriété fondamentale

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180°$ .

\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°

Cette propriété est vraie pour tous les triangles, quelle que soit leur forme.

Trouver un angle manquant

Si on connaît deux angles d'un triangle, on peut toujours retrouver le troisième.

Exemple

Un triangle $ABC$ a $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{B} = 70°$ .

\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B} = 180° - 50° - 70° = 60°

Cas particuliers

- Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux : chacun mesure $\dfrac{180°}{3} = 60°$ .
- Dans un triangle rectangle, un des angles vaut $90°$ , donc les deux autres sont complémentaires (leur somme vaut $90°$ ).
- Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base (opposés aux côtés égaux) sont égaux.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Un triangle a deux angles de $60°$ et $80°$ . Quelle est la mesure du troisième angle ?

Corrigé

$180° - 60° - 80° = 40°$ .

Exercice 2

Vrai ou faux : dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure $60°$ .

Corrigé

Vrai, car $180° \div 3 = 60°$ et les trois angles sont égaux.

Exercice 3

Un triangle rectangle a un angle de $35°$ . Quelle est la mesure du troisième angle (en plus de $90°$ ) ?

Corrigé

$180° - 90° - 35° = 55°$ .

Exercice 4

Un triangle isocèle a un angle au sommet de $40°$ . Quelles sont les mesures des deux autres angles, sachant qu'ils sont égaux ?

Corrigé

On retire l'angle au sommet du total ( $180°$ ), puis on partage équitablement le reste entre les deux angles égaux à la base.

Exercice 5

Dans un triangle $ABC$ , $\widehat{B} = 2\widehat{A}$ et $\widehat{C} = 3\widehat{A}$ . Quelle est la mesure de chaque angle ?

Corrigé

On traduit les relations entre angles en équation, puis on résout en utilisant la somme des angles d'un triangle.

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