Cercle trigonométrique et angles associés

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni d'un sens de parcours positif (sens inverse des aiguilles d'une montre). Pour tout réel $x$ , on associe au point $M$ obtenu en parcourant une longueur d'arc $x$ à partir du point $(1\,;\,0)$ les coordonnées :

M(\cos x\,;\,\sin x)

Valeurs remarquables

x

0

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{\pi}{2}

|---|---|---|---|---|---|

$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Propriétés fondamentales

Pour tout réel $x$ :

\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad -1\leqslant\cos x\leqslant1 \qquad -1\leqslant\sin x\leqslant1

Et la périodicité : $\cos(x+2\pi) = \cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$ .

Angles associés

Relation

\cos

\sin

|---|---|---|

$-x$	$\cos(-x) = \cos x$	$\sin(-x) = -\sin x$
$\pi - x$	$\cos(\pi-x) = -\cos x$	$\sin(\pi-x) = \sin x$
$\pi + x$	$\cos(\pi+x) = -\cos x$	$\sin(\pi+x) = -\sin x$
$\dfrac{\pi}{2}-x$	$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$	$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$

Ces relations s'obtiennent par symétries sur le cercle trigonométrique (par rapport à l'axe des abscisses, des ordonnées, à l'origine, ou à la première bissectrice).

Exemple

\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Pour tout réel $x$ , on a toujours :

Corrigé

C'est la relation fondamentale de la trigonométrie, qui traduit que le point $M(\cos x\,;\,\sin x)$ est sur le cercle de rayon $1$ .

Exercice 2

$\sin x$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Corrigé

$\sin x$ est toujours compris entre $-1$ et $1$ : $-1\leqslant\sin x\leqslant1$ .

Exercice 3

Quelle est la valeur de $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?

Corrigé

C'est une valeur remarquable du cercle trigonométrique : $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exercice 4

Sachant que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ et que $x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ , calcule $\sin x$ .

Corrigé

On utilise la relation fondamentale pour trouver $\sin^2 x$ , puis on choisit le signe positif car $x$ appartient au premier quadrant où $\sin x\geqslant0$ .

Exercice 5

Calcule $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ en utilisant les formules des angles associés (on remarquera que $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ ).

Corrigé

On reconnaît la forme $\pi-x$ et on applique les formules du cours : le cosinus change de signe, le sinus reste identique.

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