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1ère · Trigonométrie

Résolution d'équations trigonométriques

Équation cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos a

Sur R\mathbb{R} :

cos⁡x=cos⁡a  ⟺  x=a+2kπ ou x=−a+2kπ, k∈Z\cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi \ \text{ou}\ x=-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Exemple

Résoudre cos⁡x=12\cos x = \dfrac{1}{2} sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[. On sait que cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, donc a=π3a=\dfrac{\pi}{3} :

x=π3+2kπoux=−π3+2kπx = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi

Sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[, on garde x=π3x=\dfrac{\pi}{3} (avec k=0k=0) et x=−π3+2π=5π3x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3} (avec k=1k=1).

S={π3 ; 5π3}S = \left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}

Équation sin⁡x=sin⁡a\sin x = \sin a

Sur R\mathbb{R} :

sin⁡x=sin⁡a  ⟺  x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ, k∈Z\sin x = \sin a \iff x = a+2k\pi \ \text{ou}\ x=\pi-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Exemple

Résoudre sin⁡x=22\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[. On sait que sin⁡(π4)=22\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, donc a=π4a=\dfrac{\pi}{4} :

x=π4+2kπoux=π−π4+2kπ=3π4+2kπx = \dfrac{\pi}{4}+2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi = \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi

Sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[ :

S={π4 ; 3π4}S = \left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{3\pi}{4}\right\}

Méthode

1. Identifier une solution évidente aa (souvent une valeur remarquable du cours).
2. Écrire les deux familles de solutions générales sur R\mathbb{R}.
3. Restreindre à l'intervalle demandé en testant les valeurs de kk.

Astuce : pour cos⁡x=0\cos x = 0, les solutions sont x=π2+kπx=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ; pour sin⁡x=0\sin x = 0, les solutions sont x=kπx = k\pi.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Les solutions de cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos a sur R\mathbb{R} sont de la forme :

Corrigé

C'est la formule générale de résolution de cos⁡x=cos⁡a\cos x = \cos a, qui correspond aux deux points du cercle ayant la même abscisse.

Exercice 2

L'équation sin⁡x=0\sin x = 0 a pour solutions x=kπx = k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Corrigé

Le sinus s'annule exactement aux multiples entiers de π\pi sur le cercle trigonométrique (en 00, π\pi, 2π2\pi, etc., et leurs opposés).

Exercice 3

Quelles sont les solutions de cos⁡x=−1\cos x = -1 sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[ ?

Corrigé

cos⁡x=−1\cos x=-1 correspond au point (−1 ; 0)(-1\,;\,0) du cercle trigonométrique, atteint uniquement en x=πx=\pi sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[.

Exercice 4

Résous l'équation sin⁡x=−12\sin x = -\dfrac{1}{2} sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[.

Corrigé

On identifie une valeur de référence (ici −π/6-\pi/6), on écrit les deux familles de solutions, puis on sélectionne celles qui tombent dans l'intervalle demandé.

Exercice 5

Résous l'équation cos⁡(2x)=22\cos\left(2x\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} sur [0 ; 2π[[0\,;\,2\pi[ (on pourra poser X=2xX=2x et résoudre d'abord en XX sur l'intervalle adapté).

Corrigé

Le changement de variable X=2xX=2x élargit l'intervalle de recherche à [0 ; 4π[[0\,;\,4\pi[, ce qui double le nombre de solutions à trouver avant de revenir à xx.

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