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1ère · Trigonométrie

Formules d'addition

Formules d'addition et de soustraction

Pour tous réels aa et bb :

cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b

sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b

Ces formules permettent de calculer la valeur exacte de cos⁡\cos ou sin⁡\sin d'angles qui ne sont pas dans le tableau des valeurs remarquables, mais qui s'écrivent comme somme ou différence d'angles remarquables.

Exemple : calcul de cos⁡(π12)\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)

On remarque que π12=π3−π4\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}. On applique la formule de cos⁡(a−b)\cos(a-b) avec a=π3a=\dfrac{\pi}{3} et b=π4b=\dfrac{\pi}{4} :

cos⁡(π12)=cos⁡(π3)cos⁡(π4)+sin⁡(π3)sin⁡(π4)\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

=12×22+32×22=24+64=2+64= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{6}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

Exemple : calcul de sin⁡(7π12)\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)

On remarque que 7π12=π3+π4\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}. On applique la formule de sin⁡(a+b)\sin(a+b) :

sin⁡(7π12)=sin⁡(π3)cos⁡(π4)+cos⁡(π3)sin⁡(π4)\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

=32×22+12×22=64+24=6+24= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Astuce mnémotechnique

Pour cos⁡\cos : « cosinus cosinus moins/plus sinus sinus » (le signe s'inverse par rapport à celui de l'angle).

Pour sin⁡\sin : « sinus cosinus plus/moins cosinus sinus » (le signe reste le même que celui de l'angle).

Exercices de la leçon

Exercice 1

La formule correcte pour cos⁡(a+b)\cos(a+b) est :

Corrigé

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b ; attention à ne pas confondre avec la formule de cos⁡(a−b)\cos(a-b) qui a un signe ++.

Exercice 2

cos⁡(a+b)\cos(a+b) est toujours égal à cos⁡a+cos⁡b\cos a + \cos b.

Corrigé

C'est une erreur fréquente : le cosinus d'une somme n'est pas la somme des cosinus ; il faut utiliser la formule d'addition complète.

Exercice 3

En utilisant 5π12=π4+π6\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}, quelle expression permet de calculer sin⁡(5π12)\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) ?

Corrigé

On applique sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a\cos b+\cos a\sin b avec a=π/4a=\pi/4 et b=π/6b=\pi/6.

Exercice 4

Calcule la valeur exacte de cos⁡(5π12)\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) en remarquant que 5π12=π4+π6\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}.

Corrigé

On décompose l'angle comme somme de deux angles remarquables, puis on applique la formule d'addition du cosinus.

Exercice 5

On sait que cos⁡a=35\cos a = \dfrac{3}{5} avec a∈[0 ; π2]a\in\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right] et sin⁡b=45\sin b = \dfrac{4}{5} avec b∈[0 ; π2]b\in\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]. Calcule sin⁡a\sin a, cos⁡b\cos b, puis détermine la valeur exacte de cos⁡(a−b)\cos(a-b).

Corrigé

On détermine d'abord les valeurs manquantes via la relation fondamentale, puis on applique la formule d'addition ; le résultat cos⁡(a−b)=1\cos(a-b)=1 signifie en fait que a=ba=b ici.

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