Le cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon $1$ , centré à l'origine $O$ d'un repère orthonormé. On le parcourt dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre), à partir du point $I(1\ ;\ 0)$ .

Repérer un point par un angle

À tout réel $x$ (mesure d'angle en radians ou en degrés), on associe un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique, obtenu en parcourant une longueur d'arc $x$ à partir de $I$ .

On définit alors :

\cos(x) = \text{abscisse de } M \qquad \qquad \sin(x) = \text{ordonnée de } M

Conversion degrés ↔ radians

\pi \text{ rad} = 180°

Pour convertir, on utilise la proportionnalité : $x \text{ (radians)} = \dfrac{\pi}{180} \times x \text{ (degrés)}$ .

Exemple : $90° = \dfrac{\pi}{180}\times90 = \dfrac{\pi}{2}$ rad.

Propriétés du cercle trigonométrique

Pour tout réel $x$ :

-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1 \qquad \qquad -1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 \qquad \qquad \cos^2(x)+\sin^2(x)=1

Ces bornes viennent du fait que $M$ est sur un cercle de rayon $1$ : ses coordonnées (le cosinus et le sinus) sont donc toujours comprises entre $-1$ et $1$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Le cercle trigonométrique a pour rayon :

Corrigé

Par définition, le cercle trigonométrique est un cercle de rayon $1$ .

Exercice 2

Combien de radians correspondent à $180°$ ?

Corrigé

Par définition de la conversion, $180°$ correspond exactement à $\pi$ radians.

Exercice 3

Pour tout réel $x$ , $\cos(x)$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Corrigé

Le cosinus est l'abscisse d'un point sur le cercle trigonométrique de rayon $1$ : il est donc toujours compris entre $-1$ et $1$ .

Exercice 4

Convertis $60°$ en radians.

Corrigé

$60° = \dfrac{\pi}{180}\times 60 = \dfrac{60\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Exercice 5

Sachant que $\cos(x) = \dfrac{3}{5}$ et que $x$ correspond à un point du cercle trigonométrique situé dans le quart de cercle où le sinus est positif, calcule $\sin(x)$ .

Corrigé

La relation $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ donne deux solutions possibles pour $\sin(x)$ (opposées) ; il faut utiliser une information sur le signe (ici donné par la position du point sur le cercle) pour choisir la bonne.

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