Rappels de trigonométrie du triangle rectangle

Sinus, cosinus, tangente

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$ :

\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA — Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

Relation fondamentale

Pour tout angle $\widehat{A}$ :

\sin^2(\widehat{A}) + \cos^2(\widehat{A}) = 1 \qquad \qquad \tan(\widehat{A}) = \dfrac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}

Calculer une longueur

Exemple : dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 40°$ et $BC=10$ cm (hypoténuse), on cherche $AB$ (côté adjacent à $\widehat{B}$ ) :

\cos(40°) = \dfrac{AB}{BC} \implies AB = BC \times \cos(40°) = 10 \times \cos(40°) \approx 7{,}66 \text{ cm}

Calculer un angle

Pour trouver un angle à partir d'un rapport de longueurs connu, on utilise la fonction réciproque (touche $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice).

Exemple : si $\sin(\widehat{A}) = 0{,}5$ , alors $\widehat{A} = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :

Corrigé

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté adjacent à cet angle et l'hypoténuse.

Exercice 2

Que vaut $\sin^2(\widehat{A}) + \cos^2(\widehat{A})$ pour tout angle $\widehat{A}$ ?

Corrigé

La relation fondamentale de la trigonométrie, $\sin^2(\widehat{A})+\cos^2(\widehat{A})=1$ , est valable pour tout angle, quel qu'il soit.

Exercice 3

$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$ pour tout angle $\widehat{A}$ où $\cos(\widehat{A}) \neq 0$ .

Corrigé

C'est une relation fondamentale de trigonométrie qui découle directement des définitions de sinus, cosinus et tangente dans le triangle rectangle.

Exercice 4

On sait que $\cos(\widehat{A}) = 0{,}6$ . Que vaut $\sin^2(\widehat{A})$ ?

Corrigé

$\sin^2(\widehat{A}) = 1-\cos^2(\widehat{A}) = 1-0{,}36 = 0{,}64$ .

Exercice 5

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . On a $\widehat{B}=35°$ et $AB=8$ cm. Calcule la longueur $BC$ (l'hypoténuse) arrondie au centième.

Corrigé

On identifie le côté adjacent et l'hypoténuse par rapport à l'angle donné, on choisit la fonction trigonométrique appropriée (ici le cosinus), puis on isole la longueur cherchée.

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