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2nde · Trigonométrie dans le triangle rectangle et le cercle

Valeurs remarquables et applications

Tableau des valeurs remarquables


Angle0°0°30°30°45°45°60°60°90°90°
|---|---|---|---|---|---|



Angle (rad)00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
cos⁡\cos1132\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}00
sin⁡\sin0012\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}11

Remarque : on observe une symétrie entre les valeurs de sin⁡\sin et cos⁡\cos : cos⁡(π6)=sin⁡(π3)\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right), ce qui s'explique par le fait que ces deux angles sont complémentaires (30°+60°=90°30°+60°=90°).

Méthode pour retenir le tableau

Les numérateurs des sinus suivent l'ordre 0,1,2,3,40,1,\sqrt{2},\sqrt{3},4 sous la racine, divisés par 22 :

sin⁡:02, 12, 22, 32, 42\sin: \quad \dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2}

et les cosinus se lisent dans l'ordre inverse.

Application : angles associés

Pour un angle complémentaire (90°−x90°-x) :

cos⁡(90°−x)=sin⁡(x)sin⁡(90°−x)=cos⁡(x)\cos(90°-x) = \sin(x) \qquad \qquad \sin(90°-x) = \cos(x)

Exemple : sin⁡(60°)=cos⁡(30°)=32\sin(60°) = \cos(30°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} (car 60°60° et 30°30° sont complémentaires).

Exercices de la leçon

Exercice 1

Que vaut cos⁡(60°)\cos(60°) ?

Corrigé

D'après le tableau des valeurs remarquables, cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \dfrac{1}{2}.

Exercice 2

Que vaut sin⁡(45°)\sin(45°) ?

Corrigé

D'après le tableau des valeurs remarquables, sin⁡(45°)=22\sin(45°) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Exercice 3

sin⁡(30°)\sin(30°) et cos⁡(60°)\cos(60°) sont égaux.

Corrigé

sin⁡(30°)=12\sin(30°)=\dfrac{1}{2} et cos⁡(60°)=12\cos(60°)=\dfrac{1}{2} : ils sont bien égaux, car 30°30° et 60°60° sont des angles complémentaires (sin⁡(90°−x)=cos⁡(x)\sin(90°-x)=\cos(x)).

Exercice 4

Sachant que sin⁡(60°)=32\sin(60°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, que vaut cos⁡(30°)\cos(30°) ?

Corrigé

30°30° et 60°60° sont complémentaires : cos⁡(30°)=sin⁡(90°−30°)=sin⁡(60°)=32\cos(30°) = \sin(90°-30°) = \sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Exercice 5

Un triangle ABCABC est rectangle en AA, avec B^=30°\widehat{B}=30° et AC=5AC=5 cm (côté opposé à B^\widehat{B}). Calcule l'hypoténuse BCBC en utilisant les valeurs remarquables, sans calculatrice.

Corrigé

Grâce à la valeur remarquable sin⁡(30°)=12\sin(30°)=\dfrac{1}{2}, on peut résoudre cet exercice de trigonométrie sans calculatrice, en isolant directement la longueur cherchée dans l'équation.

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