Calculer un angle avec les fonctions réciproques

Retrouver un angle

Quand on connaît deux côtés d'un triangle rectangle, on peut retrouver un angle aigu en utilisant les fonctions réciproques de la calculatrice : $\sin^{-1}$ (ou $\arcsin$ ), $\cos^{-1}$ et $\tan^{-1}$ .

Méthode

1. Identifier les deux côtés connus (opposé, adjacent ou hypoténuse).
2. Choisir le bon rapport trigonométrique correspondant.
3. Utiliser la fonction réciproque sur la calculatrice pour obtenir l'angle.

Exemple

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à $\widehat{B}$ mesure $7$ cm et l'hypoténuse mesure $14$ cm.

\sin(\widehat{B}) = \dfrac{7}{14} = 0{,}5

\widehat{B} = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°

Synthèse des trois rapports

Connu

Rapport

Angle

|---|---|---|

opposé, hypoténuse	$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$	$\widehat{B} = \sin^{-1}\left(\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\right)$
adjacent, hypoténuse	$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$	$\widehat{B} = \cos^{-1}\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right)$
opposé, adjacent	$\tan(\widehat{B}) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$	$\widehat{B} = \tan^{-1}\left(\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\right)$

Exercices de la leçon

Exercice 1

Pour retrouver un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse, quelle fonction utiliser ?

Corrigé

Le rapport opposé/hypoténuse est le sinus, donc on utilise $\sin^{-1}$ pour retrouver l'angle.

Exercice 2

Vrai ou faux : pour retrouver un angle à partir de deux côtés, il faut connaître au moins le rapport trigonométrique correspondant.

Corrigé

Vrai, on doit identifier quel rapport (sinus, cosinus ou tangente) correspond aux deux côtés connus.

Exercice 3

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à $\widehat{B}$ mesure $5$ cm et l'hypoténuse mesure $10$ cm. Quelle est la mesure de $\widehat{B}$ ?

Corrigé

$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$ , donc $\widehat{B} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$ .

Exercice 4

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à $\widehat{C}$ mesure $9$ cm et le côté adjacent mesure $9$ cm. Quelle est la mesure de $\widehat{C}$ ?

Corrigé

Quand le côté opposé est égal au côté adjacent, la tangente vaut $1$ , ce qui correspond à un angle de $45°$ .

Exercice 5

Un toboggan de $4$ m de long descend d'une hauteur de $2{,}5$ m. Quel est l'angle que forme le toboggan avec le sol (au degré près) ?

Corrigé

On modélise la situation par un triangle rectangle : le toboggan est l'hypoténuse, la hauteur de chute est le côté opposé à l'angle cherché.

AlphaMath Académie · Calculer un angle avec les fonctions réciproques · Trigonométrie : sinus et tangente