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3ème · Trigonométrie : sinus et tangente

Calculer des longueurs avec sinus et tangente

Méthode

Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle :

1. Identifier l'angle aigu utilisable et les côtés (opposé, adjacent, hypoténuse) impliqués dans la question.
2. Choisir la bonne formule (sinus, cosinus ou tangente) selon les côtés connus et inconnus.
3. Isoler la longueur recherchée et calculer.


Je connais...Je cherche...Formule à utiliser
|---|---|---|




Angle + hypoténuseOpposéopposeˊ=hyp×sin⁡(B^)\text{opposé} = \text{hyp} \times \sin(\widehat{B})
Angle + hypoténuseAdjacentadjacent=hyp×cos⁡(B^)\text{adjacent} = \text{hyp} \times \cos(\widehat{B})
Angle + adjacentOpposéopposeˊ=adjacent×tan⁡(B^)\text{opposé} = \text{adjacent} \times \tan(\widehat{B})
Angle + opposéAdjacentadjacent=opposeˊtan⁡(B^)\text{adjacent} = \dfrac{\text{opposé}}{\tan(\widehat{B})}

Exemple

Dans un triangle rectangle, B^=35°\widehat{B} = 35° et le côté adjacent vaut 66 cm. On cherche le côté opposé :

opposeˊ=6×tan⁡(35°)≈6×0,7002≈4,2 cm\text{opposé} = 6 \times \tan(35°) \approx 6 \times 0{,}7002 \approx 4{,}2 \text{ cm}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Je connais l'angle et l'hypoténuse, et je cherche le côté opposé. Quelle formule utiliser ?

Corrigé

sin⁡(B^)=opposeˊhyp\sin(\widehat{B}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hyp}}, donc opposeˊ=hyp×sin⁡(B^)\text{opposé} = \text{hyp} \times \sin(\widehat{B}).

Exercice 2

Vrai ou faux : pour calculer un côté à partir de l'angle et du côté adjacent, on utilise la tangente.

Corrigé

Vrai, si on connaît l'angle et le côté adjacent et qu'on cherche l'opposé, on utilise tan⁡(B^)=opposeˊadjacent\tan(\widehat{B}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.

Exercice 3

Dans un triangle rectangle, B^=50°\widehat{B} = 50° et l'hypoténuse mesure 1212 cm. Quelle est la longueur du côté opposé à B^\widehat{B} (au dixième près) ?

Corrigé

opposeˊ=12×sin⁡(50°)≈12×0,766≈9,2\text{opposé} = 12 \times \sin(50°) \approx 12 \times 0{,}766 \approx 9{,}2 cm.

Exercice 4

Dans un triangle rectangle, B^=60°\widehat{B} = 60° et le côté opposé mesure 1515 cm. Calcule le côté adjacent (au dixième près).

Corrigé

Connaissant l'angle et le côté opposé, on isole l'adjacent à partir de la formule de la tangente.

Exercice 5

Une échelle de 55 m est posée contre un mur, formant un angle de 70°70° avec le sol. Jusqu'à quelle hauteur sur le mur monte-t-elle (au dixième de mètre) ?

Corrigé

On modélise la situation par un triangle rectangle : l'échelle est l'hypoténuse, la hauteur cherchée est le côté opposé à l'angle au sol.

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