Définir le sinus et la tangente

Rappel sur le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$ , on distingue :

- le côté opposé, en face de l'angle,
- le côté adjacent, qui touche l'angle (sans être l'hypoténuse),
- l'hypoténuse, le plus grand côté, face à l'angle droit.

Les formules

\sin(\widehat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\widehat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

On retient déjà que $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ . Avec sinus et tangente, on dispose maintenant des trois rapports trigonométriques.

Une relation importante

\tan(\widehat{B}) = \dfrac{\sin(\widehat{B})}{\cos(\widehat{B})}

Exemple

Dans un triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $\widehat{B} = 30°$ , $AB = 5$ cm (côté adjacent à $B$ ) et $BC = 10$ cm (hypoténuse) :

\sin(30°) = \dfrac{AC}{BC} \implies AC = BC \times \sin(30°) = 10 \times 0{,}5 = 5 \text{ cm}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelle est la formule du sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle ?

Corrigé

Le sinus est le rapport entre le côté opposé à l'angle et l'hypoténuse.

Exercice 2

Vrai ou faux : la tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent.

Corrigé

Vrai, $\tan(\widehat{B}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .

Exercice 3

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , $\widehat{B} = 40°$ , $AC = 6$ cm (côté opposé à $B$ ) et $BC$ est l'hypoténuse. Quelle formule permet de calculer $BC$ ?

Corrigé

$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC}$ , donc $BC = \dfrac{AC}{\sin(\widehat{B})}$ .

Exercice 4

Dans un triangle rectangle, un angle $\widehat{B} = 25°$ a un côté adjacent de $8$ cm. Calcule la longueur du côté opposé à cet angle (au dixième près).

Corrigé

Connaissant l'angle et le côté adjacent, on utilise la tangente pour retrouver le côté opposé.

Exercice 5

Démontre que $\tan(\widehat{B}) = \dfrac{\sin(\widehat{B})}{\cos(\widehat{B})}$ à partir des définitions.

Corrigé

L'hypoténuse se simplifie dans le rapport sinus/cosinus, ce qui redonne exactement la définition de la tangente.

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