Densité de probabilité et loi uniforme

Des variables discrètes aux variables continues

Jusqu'ici, les variables aléatoires étudiées (loi binomiale, par exemple) étaient discrètes : elles ne prenaient qu'un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs, et on pouvait calculer $P(X=k)$ pour chaque valeur $k$ .

Une variable aléatoire continue (ou à densité) prend, elle, toutes les valeurs d'un intervalle de $\mathbb{R}$ (par exemple un temps d'attente, une durée de vie, une mesure physique). On ne peut plus parler de la probabilité d'une valeur précise : on raisonne sur des intervalles.

> Définition — Densité de probabilité
> Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ . Une fonction $f$ définie sur $I$ est une densité de probabilité si :
> 1. $f$ est continue (ou continue par morceaux) et positive sur $I$ ;
> 2. l'intégrale de $f$ sur $I$ vaut $1$ : $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$ .

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de densité $f$ sur $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ avec $a \leqslant b$ :

P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_a^b f(t)\,dt

### Interprétation graphique

$P(a \leqslant X \leqslant b)$ est l'aire sous la courbe représentative de $f$ , entre les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ . C'est l'analogue continu des diagrammes en bâtons utilisés pour les lois discrètes : l'aire totale sous la courbe de $f$ sur $I$ vaut $1$ , tout comme la somme des probabilités $P(X=k)$ vaut $1$ pour une loi discrète.

### Une conséquence essentielle : $P(X=a)=0$

Pour une loi continue, la probabilité que $X$ prenne exactement une valeur $a$ est nulle :

P(X=a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0

Il en résulte que l'on ne distingue pas les inégalités strictes des inégalités larges :

P(a \leqslant X \leqslant b) = P(a < X \leqslant b) = P(a \leqslant X < b) = P(a<X<b)

> Méthode
> 1. Identifier la densité $f$ et son intervalle de définition $I$ .
> 2. Vérifier (ou admettre) que $f \geqslant 0$ et que $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$ .
> 3. Pour calculer $P(a\leqslant X \leqslant b)$ , calculer $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ à l'aide d'une primitive de $f$ .

## La loi uniforme sur $[a\,;\,b]$

> Définition
> Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ (avec $a<b$ ), notée $X \sim \mathcal{U}([a\,;\,b])$ , lorsque sa densité est constante sur $[a\,;\,b]$ :
>

f(t) = \dfrac{1}{b-a} \quad \text{pour } t \in [a\,;\,b]

Cette loi modélise une valeur « tirée au hasard, sans privilégier aucune zone » dans $[a\,;\,b]$ (par exemple l'heure d'arrivée d'un bus dans un intervalle, à la minute près).

Vérification que $f$ est bien une densité :

\int_a^b \dfrac{1}{b-a}\,dt = \dfrac{1}{b-a}\big[t\big]_a^b = \dfrac{b-a}{b-a} = 1

> Propriété — Probabilité pour la loi uniforme
> Si $X \sim \mathcal{U}([a\,;\,b])$ , alors pour tout $[c\,;\,d] \subset [a\,;\,b]$ :
>

P(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d-c}{b-a}

> (la probabilité est proportionnelle à la longueur de l'intervalle).

> Propriété — Espérance
> Si $X \sim \mathcal{U}([a\,;\,b])$ , alors :
>

E(X) = \dfrac{a+b}{2}

### Exemple résolu

Un métro passe toutes les $10$ minutes. On suppose que l'heure d'arrivée $X$ d'un voyageur sur le quai (en minutes après le passage du métro précédent) suit la loi uniforme sur $[0\,;\,10]$ .

1) Quelle est la densité de $X$ ?

f(t) = \dfrac{1}{10-0} = \dfrac{1}{10} \quad \text{pour } t \in [0\,;\,10]

2) Quelle est la probabilité que le voyageur attende moins de $3$ minutes ?

Le voyageur attend moins de $3$ minutes si $X \in [7\,;\,10]$ (il arrive dans les $3$ dernières minutes avant le métro suivant) :

P(7 \leqslant X \leqslant 10) = \dfrac{10-7}{10-0} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3

3) Quelle est l'attente moyenne du voyageur ?

L'attente moyenne correspond à $E(X) = \dfrac{0+10}{2} = 5$ minutes.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Une variable aléatoire continue $X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;\,8]$ . Quelle est sa densité $f(t)$ sur cet intervalle ?

Corrigé

Pour une loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ , la densité constante est $f(t)=\dfrac{1}{b-a}$ . Ici $b-a = 8-2 = 6$ , donc $f(t)=\dfrac{1}{6}$ .

Exercice 2

Si $X$ est une variable aléatoire à densité, alors $P(X=3)$ peut être strictement positif.

Corrigé

Pour une loi continue, $P(X=a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,dt = 0$ pour toute valeur $a$ . La probabilité qu'une variable continue prenne une valeur exacte est toujours nulle.

Exercice 3

$X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,20]$ . Quelle est la probabilité $P(5 \leqslant X \leqslant 12)$ ?

Corrigé

$P(5 \leqslant X \leqslant 12) = \dfrac{12-5}{20-0} = \dfrac{7}{20} = 0{,}35$ .

Exercice 4

On choisit au hasard, selon la loi uniforme, un nombre réel $X$ dans l'intervalle $[-3\,;\,5]$ . Calculer $P(X \geqslant 1)$ puis $E(X)$ .

Corrigé

On utilise la formule $P(c\leqslant X\leqslant d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ et la formule de l'espérance $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ pour la loi uniforme.

Exercice 5

Une fonction $f$ est définie sur $[0\,;\,4]$ par $f(t) = kt$ , où $k$ est une constante réelle. Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[0\,;\,4]$ , puis calculer $P(1 \leqslant X \leqslant 3)$ pour une variable $X$ de densité $f$ .

Corrigé

Cet exercice généralise la notion de densité au-delà de la loi uniforme : on retrouve les deux conditions (positivité, intégrale totale égale à $1$ ) pour déterminer un paramètre inconnu, puis on calcule une probabilité comme une intégrale, en utilisant une primitive de $f$ .

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