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Terminale · Variables aléatoires à densité

La loi exponentielle

Définition de la loi exponentielle

La loi exponentielle modélise des durées : durée de vie d'un composant électronique, temps d'attente avant une désintégration radioactive, durée avant une panne, etc. Contrairement à la loi uniforme, elle privilégie les petites valeurs : plus le temps passe, moins il est probable que l'événement attendu se produise « à l'instant suivant ».

> Définition
> Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , notée $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , lorsque sa densité est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par :
>

f(t) = \lambda e^{-\lambda t}

Vérification que $f$ est une densité : $f$ est clairement positive sur $[0\,;\,+\infty[$ . Pour l'intégrale, on cherche une primitive de $f$ . La fonction $F(t) = -e^{-\lambda t}$ vérifie $F'(t) = \lambda e^{-\lambda t} = f(t)$ , donc $F$ est une primitive de $f$ . Ainsi, pour tout $x \geqslant 0$ :

\int_0^x f(t)\,dt = \big[-e^{-\lambda t}\big]_0^x = -e^{-\lambda x} - (-e^0) = 1 - e^{-\lambda x}

Comme

\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{-\lambda x} = 0

(car

\lambda > 0

), on obtient bien

\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,dt = 1

## Calcul de probabilités

Le calcul précédent donne directement la formule centrale de ce cours :

> Propriété
> Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , alors pour tout réel $t \geqslant 0$ :
>

P(X \leqslant t) = \int_0^t \lambda e^{-\lambda u}\,du = 1 - e^{-\lambda t}

> et, par passage à l'événement contraire :
>

P(X > t) = 1 - P(X\leqslant t) = e^{-\lambda t}

> Méthode
> 1. Identifier $\lambda$ et écrire la densité $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ .
> 2. Pour $P(X\leqslant t)$ ou $P(X>t)$ , appliquer directement les formules ci-dessus (pas besoin de recalculer l'intégrale).
> 3. Pour $P(a \leqslant X \leqslant b)$ , écrire $P(a\leqslant X\leqslant b) = P(X\leqslant b) - P(X \leqslant a) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$ .

## Espérance

> Propriété — Espérance
> Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , alors :
>

E(X) = \dfrac{1}{\lambda}

Ce résultat, obtenu par calcul intégral (intégration par parties sur $\displaystyle\int_0^{+\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt$ ), donne la durée de vie moyenne.

## Propriété de durée de vie sans vieillissement

> Propriété — Absence de mémoire
> Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ modélise une durée de vie, alors pour tous réels $t,s \geqslant 0$ :
>

P(X > t+s \mid X > t) = P(X>s)

Cela signifie que, sachant qu'un composant a déjà fonctionné $t$ heures sans panne, la probabilité qu'il fonctionne encore $s$ heures supplémentaires est la même que la probabilité initiale qu'il fonctionne $s$ heures : le composant ne « vieillit » pas, il n'use pas sa probabilité de survie au fil du temps.

Démonstration : par définition de la probabilité conditionnelle,

P(X>t+s \mid X>t) = \dfrac{P\big((X>t+s)\cap(X>t)\big)}{P(X>t)} = \dfrac{P(X>t+s)}{P(X>t)}

(car

X>t+s

entraîne

X>t

). Or

P(X>t+s)=e^{-\lambda(t+s)} = e^{-\lambda t}\times e^{-\lambda s}

P(X>t)=e^{-\lambda t}

, donc :

P(X>t+s\mid X>t) = \dfrac{e^{-\lambda t}\times e^{-\lambda s}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda s} = P(X>s)

### Exemple résolu

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ .

1) Quelle est la probabilité que le composant tombe en panne avant $5$ ans ?

P(X\leqslant 5) = 1-e^{-0{,}2\times5} = 1-e^{-1} \approx 1-0{,}3679 \approx 0{,}632

2) Quelle est la durée de vie moyenne du composant ?

E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5 \text{ ans}

3) Le composant fonctionne déjà depuis $3$ ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore $4$ années de plus ?

Grâce à l'absence de mémoire, $P(X>3+4\mid X>3) = P(X>4) = e^{-0{,}2\times4} = e^{-0{,}8} \approx 0{,}449$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ . Quelle est sa densité $f(t)$ ?

Corrigé

La densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ . Avec $\lambda=0{,}5$ , on obtient $f(t)=0{,}5\,e^{-0{,}5t}$ .

Exercice 2

Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , on a $P(X>t) = e^{-\lambda t}$ pour tout $t\geqslant 0$ .

Corrigé

C'est la formule directe obtenue par passage à l'événement contraire de $P(X\leqslant t) = 1-e^{-\lambda t}$ , donnant $P(X>t) = e^{-\lambda t}$ .

Exercice 3

$X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $E(X) = 4$ . Quelle est la valeur de $\lambda$ ?

Corrigé

Comme $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ , on a $\lambda = \dfrac{1}{E(X)} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ .

Exercice 4

La durée de fonctionnement $X$ (en heures) d'une ampoule suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}001$ . Calculer la probabilité que l'ampoule fonctionne plus de $2000$ heures, puis sa durée de vie moyenne.

Corrigé

On applique directement la formule $P(X>t) = e^{-\lambda t}$ et la formule de l'espérance $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ , sans recalculer l'intégrale.

Exercice 5

La durée de vie $X$ (en années) d'un robot suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . On sait que $P(X>10) = 0{,}5$ . 1) Déterminer $\lambda$ (arrondi à $10^{-3}$ ). 2) Sachant que le robot fonctionne encore après $10$ ans, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $5$ années supplémentaires ? Justifier en citant la propriété utilisée.

Corrigé

Cet exercice combine la résolution d'une équation avec un logarithme népérien pour déterminer $\lambda$ , puis l'application directe de la propriété d'absence de mémoire (durée de vie sans vieillissement), qui évite un calcul de probabilité conditionnelle « à la main ».

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