Synthèse : calculs de probabilités à densité

Méthodologie générale

Face à un exercice sur les variables aléatoires à densité, il faut suivre une démarche structurée.

> Méthode générale
> 1. Identifier la loi suivie par $X$ : loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ , loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , ou une densité $f$ donnée explicitement par son expression.
> 2. Écrire la formule adaptée :
> - loi uniforme : $P(c\leqslant X\leqslant d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ ;
> - loi exponentielle : $P(X\leqslant t) = 1-e^{-\lambda t}$ et $P(X>t)=e^{-\lambda t}$ ;
> - densité quelconque : revenir à l'intégrale $P(a\leqslant X\leqslant b) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ à l'aide d'une primitive de $f$ .
> 3. Calculer numériquement, en utilisant si besoin l'événement contraire ou la décomposition $P(a\leqslant X\leqslant b) = P(X\leqslant b)-P(X\leqslant a)$ .
> 4. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé (durée, proportion, probabilité).

## Retour sur l'espérance comme intégrale

Pour une variable aléatoire continue $X$ de densité $f$ sur un intervalle $I$ , l'espérance se définit, par analogie avec la formule discrète $E(X) = \displaystyle\sum_k k\,P(X=k)$ , par l'intégrale :

E(X) = \int_I t\,f(t)\,dt

C'est ce calcul intégral qui permet de retrouver les formules déjà rencontrées :
- pour la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ : $\displaystyle E(X) = \int_a^b t\times\dfrac{1}{b-a}\,dt = \dfrac{1}{b-a}\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_a^b = \dfrac{a+b}{2}$ ;
- pour la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $\displaystyle E(X) = \int_0^{+\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \dfrac{1}{\lambda}$ (calcul nécessitant une intégration par parties et un passage à la limite, admis en Terminale).

Cette écriture montre que tout le chapitre des probabilités à densité repose sur le calcul intégral déjà étudié en analyse : primitives, calcul d'aires, limites en $+\infty$ .

### Exemple résolu combinant les deux lois

Un serveur informatique traite des requêtes. Le temps de traitement $T_1$ (en secondes) d'une requête « simple » suit la loi uniforme sur $[0\,;\,2]$ , tandis que le temps avant la prochaine panne $T_2$ (en heures) suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ .

1) Probabilité qu'une requête simple soit traitée en moins de $0{,}5$ seconde :

P(T_1 \leqslant 0{,}5) = \dfrac{0{,}5-0}{2-0} = \dfrac{0{,}5}{2} = 0{,}25

2) Probabilité que le serveur fonctionne plus de $20$ heures sans panne :

P(T_2>20) = e^{-0{,}1\times20} = e^{-2} \approx 0{,}135

3) Temps moyen avant panne :

E(T_2) = \dfrac{1}{0{,}1} = 10 \text{ heures}

On voit que, malgré des contextes différents (un temps borné, un temps potentiellement infini), la même méthode en quatre étapes s'applique : identifier la loi, écrire la formule, calculer, interpréter.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Pour une variable aléatoire continue $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$ , l'espérance $E(X)$ est donnée par quelle expression ?

Corrigé

L'espérance d'une variable continue de densité $f$ sur $I$ est définie par $E(X) = \displaystyle\int_I t\,f(t)\,dt$ , l'analogue continu de $\displaystyle\sum_k k\,P(X=k)$ .

Exercice 2

Pour calculer $P(2\leqslant X\leqslant 6)$ lorsque $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , on peut utiliser la formule $P(2\leqslant X\leqslant 6) = P(X\leqslant 6) - P(X\leqslant 2)$ .

Corrigé

Par additivité des probabilités sur des intervalles disjoints, $P(X\leqslant 6) = P(X\leqslant 2) + P(2\leqslant X\leqslant 6)$ , d'où $P(2\leqslant X\leqslant 6) = P(X\leqslant 6)-P(X\leqslant 2)$ . C'est une méthode très utile en pratique.

Exercice 3

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$ . Quelle est la valeur de $P(4\leqslant X\leqslant 8)$ (arrondie à $10^{-3}$ ) ?

Corrigé

$P(4\leqslant X\leqslant 8) = P(X\leqslant 8)-P(X\leqslant 4) = (1-e^{-0{,}25\times8})-(1-e^{-0{,}25\times4}) = e^{-1}-e^{-2} \approx 0{,}368-0{,}135 \approx 0{,}233$ .

Exercice 4

Un appareil de mesure renvoie une valeur $X$ suivant la loi uniforme sur $[10\,;\,30]$ . Calculer $P(15\leqslant X\leqslant 25)$ , puis vérifier ce résultat en calculant directement l'intégrale $\displaystyle\int_{15}^{25} \dfrac{1}{20}\,dt$ .

Corrigé

Cet exercice vérifie la cohérence entre la formule « raccourcie » de la loi uniforme et le calcul intégral général, ce qui est une bonne pratique de contrôle des résultats.

Exercice 5

Le temps d'attente $X$ (en minutes) à un guichet suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ . 1) Calculer $P(X\leqslant 10)$ . 2) Sachant qu'un client attend déjà depuis $5$ minutes, calculer la probabilité qu'il attende encore plus de $10$ minutes supplémentaires, en justifiant la propriété utilisée. 3) Calculer le temps d'attente moyen $E(X)$ et commenter le résultat par rapport à la question 1.

Corrigé

Cet exercice de synthèse combine le calcul direct de probabilité, l'application de la propriété d'absence de mémoire avec justification, et le calcul de l'espérance, en demandant une interprétation critique du lien entre moyenne et probabilité — exigence typique d'un sujet de baccalauréat.

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