Échantillonnage et intervalle de fluctuation

Position du problème

Lorsqu'on prélève un échantillon de taille $n$ dans une population où une proportion $p$ possède un certain caractère, on souhaite savoir dans quelle mesure la fréquence observée $f$ du caractère dans l'échantillon peut "raisonnablement" s'éloigner de $p$ , par simple effet du hasard d'échantillonnage.

Intervalle de fluctuation (introduction)

Intervalle de fluctuation asymptotique (au seuil de $95\%$ ) : sous certaines conditions (en particulier $n \geqslant 30$ , $np\geqslant5$ et $n(1-p)\geqslant5$ ), la fréquence $f$ observée sur un échantillon de taille $n$ appartient, avec une probabilité d'environ $0{,}95$ , à l'intervalle :

$I_n = \left[p - 1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\ p + 1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$

Cet intervalle est centré sur la proportion théorique $p$ , et son amplitude diminue lorsque la taille $n$ de l'échantillon augmente : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée doit être proche de $p$ .

Utilisation pour la prise de décision

Méthode : pour tester si une proportion annoncée $p$ semble correcte au vu d'un échantillon observé :

1. Vérifier les conditions d'application ( $n\geqslant30$ , $np\geqslant5$ , $n(1-p)\geqslant5$ ).

2. Calculer l'intervalle de fluctuation $I_n$ .

3. Si la fréquence observée $f$ appartient à $I_n$ , l'hypothèse "la proportion vaut $p$ " n'est pas remise en cause (au seuil de $95\%$ ). Sinon, on rejette cette hypothèse.

Exemple détaillé

Une usine affirme que $p=0{,}1$ (soit $10\%$ ) de sa production est défectueuse. Sur un échantillon de $n=400$ pièces, on observe $f=\dfrac{52}{400}=0{,}13$ pièces défectueuses.

Vérification des conditions : $n=400\geqslant30$ ✓, $np=40\geqslant5$ ✓, $n(1-p)=360\geqslant5$ ✓.

Calcul de l'intervalle :

\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}1\times0{,}9}{400}} = \sqrt{\dfrac{0{,}09}{400}} = \sqrt{0{,}000225} = 0{,}015

I_{400} = [0{,}1 - 1{,}96\times0{,}015\,;\ 0{,}1+1{,}96\times0{,}015] = [0{,}1-0{,}0294\,;\ 0{,}1+0{,}0294] = [0{,}0706\,;\ 0{,}1294]

Comme $f=0{,}13 \notin I_{400}$ (car $0{,}13 > 0{,}1294$ ), la fréquence observée dépasse légèrement la borne supérieure de l'intervalle : au seuil de $95\%$ , on peut considérer que l'affirmation de l'usine est remise en cause, même si l'écart reste faible. C'est tout l'intérêt de la méthode : comparer systématiquement $f$ aux bornes de $I_n$ pour décider.

Exercices de la leçon

Exercice 1

L'intervalle de fluctuation asymptotique est centré sur :

Corrigé

L'intervalle de fluctuation est centré sur la proportion théorique $p$ , avec une demi-amplitude de $1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ .

Exercice 2

Plus la taille de l'échantillon $n$ augmente, plus l'amplitude de l'intervalle de fluctuation diminue.

Corrigé

Comme l'amplitude dépend de $\dfrac{1}{\sqrt n}$ , elle diminue quand $n$ augmente : un plus grand échantillon donne une estimation plus précise.

Exercice 3

Une proportion théorique annoncée est $p=0{,}2$ , sur un échantillon de taille $n=900$ . Vérifie les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation asymptotique, puis calcule l'intervalle $I_n$ .

Corrigé

On commence systématiquement par vérifier les trois conditions d'application avant de calculer l'intervalle, en suivant scrupuleusement la formule du cours.

Exercice 4

Un fabricant affirme que $95\%$ de ses produits sont conformes ( $p=0{,}95$ ). Sur un échantillon de $n=500$ produits, on observe $465$ produits conformes. Calcule la fréquence observée $f$ , vérifie les conditions d'application, calcule l'intervalle de fluctuation $I_n$ , et conclus si l'affirmation du fabricant semble crédible.

Corrigé

On suit la méthode complète : calcul de la fréquence observée, vérification des conditions, calcul de l'intervalle, puis comparaison de $f$ aux bornes pour prendre une décision statistique.

Exercice 5

Pour appliquer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ , quelles conditions doivent être vérifiées sur la taille de l'échantillon $n$ et la proportion $p$ ?

Corrigé

Les trois conditions usuelles pour l'intervalle de fluctuation asymptotique sont $n\geqslant30$ , $np\geqslant5$ et $n(1-p)\geqslant5$ .

AlphaMath Académie · Échantillonnage et intervalle de fluctuation · Variables aléatoires et loi binomiale (approfondissement)