Espérance, variance et écart-type

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur possible $x_i$ , la probabilité $P(X=x_i)$ .

Espérance

Définition : l'espérance de $X$ , notée $E(X)$ , est la moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X=x_i)$

L'espérance représente la valeur "moyenne" que l'on peut attendre si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Variance et écart-type

Définition : la variance de $X$ mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance :

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} \left(x_i - E(X)\right)^2 \times P(X=x_i)$

L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Formule de König-Huygens (souvent plus pratique pour calculer) :

$V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 \quad \text{où } E(X^2) = \sum_i x_i^2 \times P(X=x_i)$

Exemple détaillé

Soit $X$ la loi de probabilité donnée par : $P(X=1)=0{,}2$ , $P(X=2)=0{,}5$ , $P(X=3)=0{,}3$ .

Espérance :

E(X) = 1\times0{,}2+2\times0{,}5+3\times0{,}3 = 0{,}2+1+0{,}9 = 2{,}1

Calcul de $E(X^2)$ :

E(X^2) = 1^2\times0{,}2+2^2\times0{,}5+3^2\times0{,}3 = 0{,}2+2+2{,}7 = 4{,}9

Variance :

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 4{,}9 - 2{,}1^2 = 4{,}9-4{,}41 = 0{,}49

Écart-type :

\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7

Exercices de la leçon

Exercice 1

L'espérance d'une variable aléatoire représente :

Corrigé

L'espérance $E(X)=\sum x_iP(X=x_i)$ est la moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités respectives.

Exercice 2

L'écart-type est la racine carrée de la variance.

Corrigé

Par définition, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Exercice 3

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain (en euros) d'un jeu : $P(X=-2)=0{,}6$ , $P(X=5)=0{,}3$ , $P(X=10)=0{,}1$ . Calcule l'espérance $E(X)$ et interprète le résultat.

Corrigé

On applique directement la formule de l'espérance en multipliant chaque gain par sa probabilité puis en sommant, et on interprète le signe positif comme un jeu favorable au joueur.

Exercice 4

Pour la variable aléatoire $X$ de l'exercice précédent ( $P(X=-2)=0{,}6$ , $P(X=5)=0{,}3$ , $P(X=10)=0{,}1$ , $E(X)=1{,}3$ ), calcule la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens.

Corrigé

On calcule $E(X^2)$ en sommant les carrés des valeurs pondérés par leurs probabilités, puis on applique la formule de König-Huygens, plus rapide que la définition directe par écarts à la moyenne.

Exercice 5

Si la variance d'une variable aléatoire $X$ est $V(X)=9$ , quel est son écart-type ?

Corrigé

L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(X)=\sqrt{9}=3$ .

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