Loi binomiale : rappel, espérance et variance

Rappel : schéma de Bernoulli et loi binomiale

Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues possibles, "succès" (probabilité $p$ ) et "échec" (probabilité $1-p$ ).

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : si on répète $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , et que $X$ compte le nombre de succès obtenus, alors $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , et pour tout entier $k$ avec $0 \leqslant k \leqslant n$ :

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Espérance et variance d'une loi binomiale

Théorème (admis) : si $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ , alors :

$E(X) = np \qquad\qquad V(X) = np(1-p) \qquad\qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Ces formules évitent d'avoir à calculer la somme complète $\sum_k k\times P(X=k)$ , ce qui serait très lourd pour $n$ grand.

Exemple détaillé

On lance $20$ fois un dé équilibré et on compte le nombre de fois où l'on obtient un $6$ . Soit $X$ ce nombre de succès.

$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(20\,;\,\dfrac16\right)$ (chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac16$ , répétée $20$ fois de façon indépendante).

Espérance :

E(X) = np = 20\times\dfrac16 = \dfrac{20}{6} \approx 3{,}33

Variance :

V(X) = np(1-p) = 20\times\dfrac16\times\dfrac56 = \dfrac{100}{36} \approx 2{,}78

Écart-type :

\sigma(X) = \sqrt{2{,}78} \approx 1{,}67

On s'attend donc, en moyenne, à environ $3{,}33$ apparitions du $6$ sur $20$ lancers, avec un écart-type d'environ $1{,}67$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Si $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ , quelle est la formule de son espérance ?

Corrigé

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ , l'espérance est $E(X)=np$ .

Exercice 2

La variance d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ est $V(X) = np(1-p)$ .

Corrigé

C'est exactement la formule de la variance de la loi binomiale, à connaître par cœur.

Exercice 3

Une variable aléatoire $X$ suit la loi $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$ . Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .

Corrigé

On applique directement les formules $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ avec les paramètres donnés.

Exercice 4

Un questionnaire à choix multiples comporte $30$ questions, chacune avec $4$ réponses possibles dont une seule est correcte. Un candidat répond entièrement au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses. Justifie que $X$ suit une loi binomiale, donne ses paramètres, puis calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ .

Corrigé

On justifie soigneusement les conditions d'application de la loi binomiale (répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli identiques) avant de calculer espérance, variance et écart-type avec les formules du cours.

Exercice 5

Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$ . Quel est l'écart-type de $X$ ?

Corrigé

$V(X) = np(1-p) = 100\times0{,}5\times0{,}5 = 25$ , donc $\sigma(X) = \sqrt{25}=5$ .

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