Droites de l'espace

Vecteur directeur d'une droite

> Définition : un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ si, pour deux points $M$ et $N$ quelconques de $\mathcal{D}$ , le vecteur $\overrightarrow{MN}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$ .

Une droite est entièrement déterminée par un point $A$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .

## Représentation paramétrique d'une droite

Soit $A(x_0\,;\,y_0\,;\,z_0)$ un point et $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ un vecteur directeur. Un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et dirigée par $\overrightarrow{u}$ si et seulement s'il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{u}$ .

> Représentation paramétrique :
>

\mathcal{D} : \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

Chaque valeur du paramètre $t$ donne un point précis de la droite.

Exemple : la droite passant par $A(1\,;\,2\,;\,0)$ et dirigée par $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :

\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

## Appartenance d'un point à une droite

Pour savoir si un point $M(x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)$ appartient à $\mathcal{D}$ , on résout le système formé par les trois équations en cherchant une même valeur de $t$ vérifiant les trois à la fois. Si on trouve un $t$ commun, $M \in \mathcal{D}$ ; sinon $M \notin \mathcal{D}$ .

## Positions relatives de deux droites dans l'espace

Contrairement au plan, deux droites de l'espace peuvent être :

- sécantes : elles ont un seul point commun (leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, et le système associé a une solution) ;
- strictement parallèles : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, mais elles n'ont aucun point commun ;
- confondues : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et elles ont un point commun (donc tous leurs points) ;
- non coplanaires : leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et elles n'ont aucun point commun — elles ne sont contenues dans aucun plan commun.

\boxed{\text{vecteurs colinéaires} \Rightarrow \text{droites parallèles (confondues ou strictement parallèles)}}

Exercices de la leçon

Exercice 1

La droite $\mathcal{D}$ passe par $A(2\,;\,-1\,;\,3)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ . Quelle est sa représentation paramétrique ?

Corrigé

On utilise $x=x_0+at$ , $y=y_0+bt$ , $z=z_0+ct$ avec $(x_0,y_0,z_0)=(2,-1,3)$ et $(a,b,c)=(1,0,-2)$ , ce qui donne $\begin{cases} x=2+t \\ y=-1 \\ z=3-2t \end{cases}$ .

Exercice 2

Deux droites de l'espace dont les vecteurs directeurs sont colinéaires sont nécessairement confondues.

Corrigé

Si les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles, mais elles peuvent être strictement parallèles (aucun point commun) ou confondues (tous les points communs). Il faut vérifier en plus qu'un point de l'une appartient à l'autre.

Exercice 3

On considère la droite $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1+2t \\ y = -t \\ z = 3+t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ . Le point $M(5\,;\,-2\,;\,5)$ appartient à $\mathcal{D}$ .

Corrigé

On résout $1+2t=5 \Rightarrow t=2$ ; on vérifie : $-t=-2$ correspond à $y=-2$ ✓, et $3+t=5$ correspond à $z=5$ ✓. La même valeur $t=2$ convient aux trois équations, donc $M \in \mathcal{D}$ .

Exercice 4

Soit $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2-t \\ y = 1+3t \\ z = -2+t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ . Déterminer si le point $N(4\,;\,-5\,;\,-4)$ appartient à $\mathcal{D}$ .

Corrigé

Il faut chercher une valeur de $t$ commune aux trois équations en remplaçant les coordonnées de $N$ , puis vérifier la cohérence.

Exercice 5

On donne deux droites : $\mathcal{D}_1 : \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2-t \\ z = t \end{cases}$ et $\mathcal{D}_2 : \begin{cases} x = 2-s \\ y = 1+s \\ z = 3+2s \end{cases}$ , avec $t,s \in \mathbb{R}$ . Étudier la position relative de $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ .

Corrigé

On compare d'abord les vecteurs directeurs pour voir s'ils sont colinéaires, puis on résout le système pour chercher un point d'intersection éventuel.

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