Plans de l'espace

Vecteurs coplanaires

> Définition : trois vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires s'il existe des réels $a'$ et $b'$ tels que $\overrightarrow{w} = a'\,\overrightarrow{u} + b'\,\overrightarrow{v}$ , lorsque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

Autrement dit, $\overrightarrow{w}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ : les trois vecteurs, ramenés à une même origine, restent dans un même plan.

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ sont coplanaires car $\overrightarrow{w} = 2\,\overrightarrow{u} + 3\,\overrightarrow{v}$ .

## Représentation paramétrique d'un plan

Soit $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ un point et $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a' \\ b' \\ c' \end{pmatrix}$ deux vecteurs non colinéaires. Un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et dirigé par $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ si et seulement s'il existe deux réels $t$ et $s$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{u} + s\,\overrightarrow{v}$ .

> Représentation paramétrique :
>

\mathcal{P} : \begin{cases} x = x_A + at + a's \\ y = y_A + bt + b's \\ z = z_A + ct + c's \end{cases} \quad t,s \in \mathbb{R}

Exemple : le plan passant par $A(1\,;\,0\,;\,2)$ dirigé par $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :

\begin{cases} x = 1+t \\ y = t+s \\ z = 2-s \end{cases} \quad t,s \in \mathbb{R}

## Appartenance d'un point à un plan

Pour savoir si $M(x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)$ appartient à $\mathcal{P}$ , on résout le système des trois équations en cherchant un même couple $(t\,;\,s)$ vérifiant les trois équations simultanément.

\boxed{M \in \mathcal{P} \iff \exists\,(t\,;\,s) \in \mathbb{R}^2,\ \overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{u} + s\,\overrightarrow{v}}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(0\,;\,1\,;\,2)$ et est dirigé par $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Quelle est sa représentation paramétrique ?

Corrigé

On applique $x=x_A+at+a's$ , $y=y_A+bt+b's$ , $z=z_A+ct+c's$ avec $A(0,1,2)$ , $\overrightarrow{u}(1,0,1)$ et $\overrightarrow{v}(2,1,0)$ , ce qui donne $\begin{cases} x=t+2s \\ y=1+s \\ z=2+t \end{cases}$ .

Exercice 2

Pour définir la représentation paramétrique d'un plan, les deux vecteurs directeurs utilisés doivent être colinéaires.

Corrigé

C'est l'inverse : les deux vecteurs directeurs d'un plan doivent être non colinéaires pour engendrer effectivement un plan (et non une simple droite).

Exercice 3

On considère le plan $\mathcal{P} : \begin{cases} x = 1+t-s \\ y = 2t \\ z = 3+s \end{cases}$ , $t,s \in \mathbb{R}$ . Le point $M(2\,;\,2\,;\,4)$ appartient à $\mathcal{P}$ .

Corrigé

De $y=2t=2$ , on tire $t=1$ . De $z=3+s=4$ , on tire $s=1$ . On vérifie avec la première équation : $1+t-s = 1+1-1 = 1$ , ce qui ne correspond pas à $x=2$ . Le couple $(t,s)=(1\,;\,1)$ ne vérifie pas simultanément les trois équations, donc $M \notin \mathcal{P}$ : l'affirmation est fausse.

Exercice 4

Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(1\,;\,1\,;\,0)$ dirigé par $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Déterminer si le point $N(2\,;\,1\,;\,3)$ appartient à $\mathcal{P}$ .

Corrigé

On écrit la représentation paramétrique du plan, puis on cherche un couple $(t,s)$ commun aux trois équations en utilisant les coordonnées de $N$ .

Exercice 5

On donne $A(1\,;\,0\,;\,0)$ , $B(0\,;\,1\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,1)$ . Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, écrire une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ , puis déterminer si $D(2\,;\,-1\,;\,0)$ appartient à ce plan.

Corrigé

On calcule d'abord les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , on vérifie qu'ils ne sont pas colinéaires, on en déduit la représentation paramétrique, puis on teste les coordonnées de $D$ .

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