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Terminale · Vecteurs, droites et plans dans l'espace

Vecteurs de l'espace

Coordonnées d'un vecteur de l'espace

On munit l'espace d'un repère (O ; i→ , j→ , k→)(O\,;\,\overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{j}\,,\,\overrightarrow{k}). Tout vecteur u→\overrightarrow{u} de l'espace se décompose de façon unique :

u→=x i→+y j→+z k→\overrightarrow{u} = x\,\overrightarrow{i} + y\,\overrightarrow{j} + z\,\overrightarrow{k}

On note alors u→(xyz)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, où xx, yy et zz sont les coordonnées de u→\overrightarrow{u}.

> Coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} : si A(xA ; yA ; zA)A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A) et B(xB ; yB ; zB)B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B), alors :
>

AB→(xB−xAyB−yAzB−zA)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}

## Opérations sur les vecteurs

Soit u→(xyz)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} et v→(x′y′z′)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} deux vecteurs et k∈Rk \in \mathbb{R} un réel.

- Somme : u→+v→(x+x′y+y′z+z′)\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \\ z+z' \end{pmatrix}
- Produit par un réel : k u→(kxkykz)k\,\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{pmatrix}

Exemple : si u→(2−13)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} et v→(04−2)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, alors u→+v→(231)\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} et 3u→(6−39)3\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix}.

## Norme d'un vecteur

> Définition : la norme du vecteur u→(xyz)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} est le réel positif :
>

∥u→∥=x2+y2+z2\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

Elle représente la longueur du vecteur, généralisant le théorème de Pythagore à l'espace.

Exemple : pour u→(2−13)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, on a ∥u→∥=4+1+9=14\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}.

## Vecteurs colinéaires

> Définition : deux vecteurs non nuls u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont colinéaires s'il existe un réel kk tel que v→=k u→\overrightarrow{v} = k\,\overrightarrow{u}.

Cela revient à dire que les coordonnées de v→\overrightarrow{v} sont proportionnelles à celles de u→\overrightarrow{u}. Deux vecteurs colinéaires définissent la même direction dans l'espace.

Exemple : u→(12−1)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} et v→(−3−63)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} sont colinéaires car v→=−3 u→\overrightarrow{v} = -3\,\overrightarrow{u}.

## Milieu d'un segment

> Propriété : si II est le milieu de [AB][AB], avec A(xA ; yA ; zA)A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A) et B(xB ; yB ; zB)B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B), alors :
>

I(xA+xB2 ; yA+yB2 ; zA+zB2)I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)

I(xA+xB2 ; yA+yB2 ; zA+zB2)\boxed{I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)}

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère, on considère A(1 ; 2 ; −3)A(1\,;\,2\,;\,-3) et B(4 ; 0 ; 1)B(4\,;\,0\,;\,1). Quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

Corrigé

On calcule AB→(xB−xAyB−yAzB−zA)=(4−10−21−(−3))=(3−24)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}.

Exercice 2

Soit u→(10−1)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}. La norme de u→\overrightarrow{u} vaut 2\sqrt{2}.

Corrigé

∥u→∥=12+02+(−1)2=1+0+1=2\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}. L'affirmation est donc vraie.

Exercice 3

Les vecteurs u→(2−46)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} et v→(−12−3)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} sont colinéaires.

Corrigé

On remarque que u→=−2 v→\overrightarrow{u} = -2\,\overrightarrow{v} car −2×(−1)=2-2\times(-1)=2, −2×2=−4-2\times 2=-4 et −2×(−3)=6-2\times(-3)=6. Les coordonnées sont bien proportionnelles : les vecteurs sont colinéaires.

Exercice 4

Soit A(0 ; 1 ; 4)A(0\,;\,1\,;\,4), B(2 ; −3 ; 0)B(2\,;\,-3\,;\,0) et C(1 ; 1 ; 5)C(1\,;\,1\,;\,5). Calculer les coordonnées du milieu II de [AB][AB], puis déterminer si IC→\overrightarrow{IC} est colinéaire à i→(100)\overrightarrow{i}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Corrigé

Il faut d'abord calculer les coordonnées du milieu avec la formule de la moyenne des coordonnées, puis comparer les coordonnées de IC→\overrightarrow{IC} à celles de i→\overrightarrow{i}.

Exercice 5

Dans un cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 11, on munit l'espace du repère (A ; AB→ , AD→ , AE→)(A\,;\,\overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AD}\,,\,\overrightarrow{AE}). On a alors C(1 ; 1 ; 0)C(1\,;\,1\,;\,0) et G(1 ; 1 ; 1)G(1\,;\,1\,;\,1). Démontrer que AG→=AC→+AE→\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}, puis calculer ∥AG→∥\|\overrightarrow{AG}\|.

Corrigé

On utilise les coordonnées des points dans le repère donné pour vérifier l'égalité vectorielle, puis on applique la formule de la norme.

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