Colinéarité de vecteurs et translations

La translation

Translater un point $M$ par un vecteur $\overrightarrow{u}$ , c'est construire le point $M'$ tel que :

\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}

On dit que $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ .

Propriété : une translation conserve les distances, les alignements et les angles : l'image d'une figure par translation est une figure superposable à la figure de départ, simplement « glissée ».

Exemple : si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $M(1\ ;\ 4)$ , l'image $M'$ de $M$ vérifie $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}$ , donc $M'(1+3\ ;\ 4-2) = M'(4\ ;\ 2)$ .

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (non nuls) sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction, c'est-à-dire lorsqu'il existe un réel $k$ tel que :

\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}

Critère de colinéarité en coordonnées

Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ , alors :

\overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{v} \text{ sont colinéaires} \iff xy'-x'y=0

La quantité $xy'-x'y$ s'appelle le déterminant des deux vecteurs.

Exemple : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $xy'-x'y = 2\times6-4\times3 = 12-12=0$ , donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires (en effet $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}$ ).

Applications de la colinéarité

- Alignement de points : $A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
- Parallélisme de droites : $(AB) \parallel (CD) \iff$ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple : pour montrer que $A(1\ ;\ 1)$ , $B(3\ ;\ 5)$ et $C(4\ ;\ 7)$ sont alignés, on calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $2\times6-3\times4 = 12-12=0$ , donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, et $A$ , $B$ , $C$ sont alignés.

À retenir

- Translater $M$ par $\overrightarrow{u}$ donne $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}$ ; une translation conserve distances et alignements.
- $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires $\iff xy'-x'y=0$ .
- La colinéarité permet de démontrer un alignement de points ou un parallélisme de droites sans tracer la figure.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires lorsque :

Corrigé

La colinéarité de deux vecteurs signifie qu'ils ont la même direction, c'est-à-dire que l'un est un multiple de l'autre : $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ .

Exercice 2

Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

Corrigé

$xy'-x'y = 1\times6-3\times2 = 6-6=0$ , le déterminant est nul donc les vecteurs sont colinéaires (on a bien $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{u}$ ).

Exercice 3

On donne $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}$ . Que vaut le déterminant $xy'-x'y$ ?

Corrigé

$xy'-x'y = 2\times9-4\times5 = 18-20=-2$ .

Exercice 4

Pour montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, il suffit de montrer que :

Corrigé

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ; ici $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ dirigent respectivement $(AB)$ et $(CD)$ .

Exercice 5

On donne $A(-1\ ;\ 2)$ , $B(2\ ;\ 4)$ et $C(8\ ;\ 8)$ . Montre que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Corrigé

Pour démontrer un alignement, on calcule les coordonnées de deux vecteurs partant d'un même point puis on vérifie que leur déterminant est nul, ce qui prouve leur colinéarité et donc l'alignement des trois points.

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