Équation d'une droite

Équation réduite

Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme :

y = mx+p

appelée équation réduite de la droite : $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. On retrouve ici la fonction affine associée $f(x)=mx+p$ .

Cas particulier : une droite parallèle à l'axe des ordonnées (donc « verticale ») n'est pas le graphe d'une fonction ; son équation est de la forme $x=c$ (avec $c$ constant), et elle n'a pas de coefficient directeur.

Équation cartésienne

Une droite peut aussi s'écrire sous forme cartésienne :

ax+by+c=0 \qquad \text{avec } (a\ ;\ b) \neq (0\ ;\ 0)

Un vecteur directeur de cette droite est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ : ce vecteur indique la direction de la droite, et tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{u}$ en est aussi un vecteur directeur.

Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points

Si une droite passe par $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ avec $x_A \neq x_B$ , on procède en deux étapes :

Méthode

1. Calculer le coefficient directeur : $m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .

2. Utiliser les coordonnées d'un point connu (par exemple $A$ ) dans $y=mx+p$ pour trouver $p$ .

Exemple : droite passant par $A(1\ ;\ 3)$ et $B(4\ ;\ 9)$ . On calcule $m = \dfrac{9-3}{4-1} = \dfrac{6}{3}=2$ . Avec $A$ : $3 = 2\times1+p \implies p=1$ . L'équation réduite est $y=2x+1$ .

Droites parallèles

\text{Deux droites sont parallèles} \iff \text{leurs vecteurs directeurs sont colinéaires}

Pour deux droites données par leur équation réduite, cela revient simplement à comparer leurs coefficients directeurs :

y=mx+p \ \parallel\ y=m'x+p' \iff m=m'

Exemple : $y=3x-2$ et $y=3x+5$ sont parallèles (même coefficient directeur $m=3$ ), alors que $y=3x-2$ et $y=4x-2$ ne le sont pas.

À retenir

- Équation réduite : $y=mx+p$ (sauf droites verticales, d'équation $x=c$ ).
- Équation cartésienne : $ax+by+c=0$ , de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ .
- Pour deux points connus, on calcule $m$ avec le taux de variation, puis $p$ en substituant.
- Deux droites (non verticales) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur $m$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

Dans l'équation réduite $y=mx+p$ , le coefficient $m$ représente :

Corrigé

Dans $y=mx+p$ , $m$ est le coefficient directeur (la « pente » de la droite) et $p$ est l'ordonnée à l'origine.

Exercice 2

Les droites d'équations $y=5x+1$ et $y=5x-3$ sont parallèles.

Corrigé

Ces deux droites ont le même coefficient directeur $m=5$ : elles sont donc parallèles.

Exercice 3

Quel est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $3x-2y+1=0$ ?

Corrigé

Pour une droite $ax+by+c=0$ , un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ ; ici $a=3$ et $b=-2$ , donc $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ .

Exercice 4

Une droite passe par $A(0\ ;\ 4)$ et $B(2\ ;\ 0)$ . Quelle est son équation réduite ?

Corrigé

$m=\dfrac{0-4}{2-0}=-2$ . Comme $A(0\ ;\ 4)$ est sur l'axe des ordonnées, $p=4$ directement. L'équation est $y=-2x+4$ .

Exercice 5

Détermine l'équation réduite de la droite passant par $A(2\ ;\ 1)$ et $B(5\ ;\ 10)$ , puis vérifie si le point $C(4\ ;\ 7)$ appartient à cette droite.

Corrigé

On détermine $m$ avec le taux de variation entre les deux points connus, puis $p$ par substitution ; pour tester l'appartenance d'un point, on vérifie que ses coordonnées satisfont l'équation obtenue.

AlphaMath Académie · Équation d'une droite · Vecteurs et repérage