Milieu et distance dans un repère

Coordonnées du milieu d'un segment

Si $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ , les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ sont :

I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)

Exemple : pour $A(1\ ;\ 3)$ et $B(5\ ;\ 7)$ , le milieu de $[AB]$ est $I\left(\dfrac{1+5}{2}\ ;\ \dfrac{3+7}{2}\right) = I(3\ ;\ 5)$ .

Distance entre deux points

La distance $AB$ se calcule à partir des coordonnées de $A$ et $B$ grâce au théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections sur les axes :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Exemple : pour $A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ 6)$ :

AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5

Lien avec les vecteurs : la distance $AB$ est exactement la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $AB = \|\overrightarrow{AB}\|$ .

Application : nature d'un triangle

On peut utiliser les formules de distance pour calculer les longueurs des côtés d'un triangle, puis utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour déterminer s'il est rectangle, ou comparer les longueurs pour voir s'il est isocèle ou équilatéral.

Exercices de la leçon

Exercice 1

Quelles sont les coordonnées du milieu de $[AB]$ avec $A(2\ ;\ 4)$ et $B(6\ ;\ 8)$ ?

Corrigé

Le milieu a pour coordonnées $\left(\dfrac{2+6}{2}\ ;\ \dfrac{4+8}{2}\right) = (4\ ;\ 6)$ .

Exercice 2

Quelle formule permet de calculer la distance $AB$ entre $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ ?

Corrigé

Cette formule découle du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les écarts en abscisse et en ordonnée entre les deux points.

Exercice 3

La distance $AB$ est égale à la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Corrigé

Par définition, la norme d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente la longueur du segment $[AB]$ , donc $\|\overrightarrow{AB}\| = AB$ .

Exercice 4

Calcule la distance $AB$ avec $A(0\ ;\ 0)$ et $B(8\ ;\ 6)$ .

Corrigé

$AB = \sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ .

Exercice 5

On donne $A(-2\ ;\ 1)$ , $B(4\ ;\ 1)$ et $C(1\ ;\ 5)$ . Calcule les longueurs $AB$ , $AC$ et $BC$ , puis détermine si le triangle $ABC$ est rectangle (en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore).

Corrigé

On calcule systématiquement les trois longueurs avec la formule de distance, puis on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres pour conclure sur la nature du triangle.

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