Notion de vecteur et coordonnées

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par trois caractéristiques :
- une direction (celle de la droite $(AB)$ ) ;
- un sens (de $A$ vers $B$ ) ;
- une longueur (la distance $AB$ ), appelée norme, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$ .

Vecteurs égaux : deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, même s'ils ne sont pas situés au même endroit du plan.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère $(O\ ;\ I\ ;\ J)$ , si $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ , alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Exemple : $A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ 6)$ donnent $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Norme d'un vecteur

Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , alors :

\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}

Exemple : pour $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ , on a $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Vecteurs égaux et coordonnées

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff x_B-x_A = x_D-x_C \ \text{ et } \ y_B-y_A=y_D-y_C

Exercices de la leçon

Exercice 1

On donne $A(2\ ;\ 1)$ et $B(5\ ;\ 3)$ . Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

Corrigé

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Exercice 2

Un vecteur est entièrement caractérisé par :

Corrigé

Un vecteur est défini par trois éléments : la direction, le sens, et la longueur (norme). Deux vecteurs ayant ces trois éléments identiques sont égaux, même situés ailleurs dans le plan.

Exercice 3

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées, même s'ils ne partent pas du même point.

Corrigé

L'égalité de deux vecteurs ne dépend que de leur direction, sens et longueur (donc de leurs coordonnées), pas de leur position de départ dans le plan.

Exercice 4

Quelle est la norme du vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ ?

Corrigé

$\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ .

Exercice 5

On donne $A(-1\ ;\ 3)$ , $B(2\ ;\ -1)$ , $C(0\ ;\ 5)$ et $D(3\ ;\ 1)$ . Montre que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Corrigé

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées : il suffit donc de calculer et comparer les coordonnées des deux vecteurs.

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