Somme de vecteurs et relation de Chasles

Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ se calcule coordonnée par coordonnée :

\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix}

La relation de Chasles

Pour trois points quelconques $A$ , $B$ , $C$ du plan :

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Astuce mnémotechnique : les lettres "du milieu" ( $B$ et $B$ ) s'annulent comme si on simplifiait une écriture.

Cette relation permet de décomposer un vecteur en une somme d'autres vecteurs, ou de simplifier une somme de vecteurs.

Exemple : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ (on applique deux fois la relation de Chasles).

Vecteur opposé

Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ . En coordonnées, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , alors $-\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$ .

Conséquence utile : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ (vecteur nul).

Caractérisation du parallélogramme

$ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Exercices de la leçon

Exercice 1

D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ est égal à :

Corrigé

La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ : les points intermédiaires identiques ( $B$ ) se "simplifient".

Exercice 2

Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ ?

Corrigé

On additionne coordonnée par coordonnée : $\begin{pmatrix} 2+(-3) \\ 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}$ .

Exercice 3

$ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Corrigé

C'est la caractérisation vectorielle du parallélogramme : les côtés $[AB]$ et $[CD]$ doivent être représentés par des vecteurs égaux pour former un parallélogramme $ABDC$ .

Exercice 4

Le vecteur opposé de $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}$ a pour coordonnées :

Corrigé

Le vecteur opposé inverse le signe de chaque coordonnée : $-\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$ .

Exercice 5

On donne $A(1\ ;\ 1)$ , $B(4\ ;\ 2)$ et $C(2\ ;\ 6)$ . Détermine les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

Corrigé

On utilise la caractérisation vectorielle du parallélogramme $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ , qu'on traduit en deux équations sur les coordonnées de $D$ .

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