Les listes d'entiers consécutifs de somme 54

Combien de listes de plusieurs (au moins deux) entiers naturels consécutifs ont pour somme 54 ?

Une liste de $k \geq 2$ entiers consécutifs commençant à $a \geq 0$ a pour somme

On cherche $ka + \dfrac{k(k-1)}{2} = 54$, soit, en multipliant par 2 :

Pour chaque diviseur $k \geq 2$ de 108, on calcule $2a + k - 1 = 108/k$, puis on vérifie que $a = \dfrac{108/k - k + 1}{2}$ est un entier naturel ($\geq 0$).

- $k=3$ : $108/3=36$, donc $a = (36-3+1)/2 = 17 \geq 0$. Liste : $17+18+19=54$. ✓
- $k=4$ : $108/4=27$, donc $a=(27-4+1)/2=12$. Liste : $12+13+14+15=54$. ✓
- $k=9$ : $108/9=12$, donc $a=(12-9+1)/2=2$. Liste : $2+3+\dots+10=54$. ✓
- Tous les autres diviseurs de 108 (2, 6, 12, 18, 27, 36, 54, 108...) donnent soit un $a$ non entier, soit un $a$ négatif.

Il y a donc exactement 3 listes.