« Une descente infinie » — l'équation de Markov généralisée

Soit $\alpha$ un entier naturel tel que $\alpha \geq 4$. On considère l'équation $(E)$, d'inconnue $(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{Z}^3$ :

Démontrer que le seul triplet $(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{Z}^3$ solution de $(E)$ est $(0,0,0)$.

On procède par descente infinie (méthode dite du « saut de Vieta »).

Étape 1 — Réduction aux signes positifs. Comme $x_1^2+x_2^2+x_3^2 \geq 0$, on a nécessairement $x_1x_2x_3 \geq 0$. L'équation $(E)$ est invariante si l'on change simultanément le signe de deux des trois variables. On peut donc supposer $x_1,x_2,x_3 \geq 0$.

Étape 2 — Solution minimale. Supposons qu'il existe une solution non nulle à coordonnées $\geq 0$. Parmi toutes ces solutions, on en choisit une, notée $(x_1,x_2,x_3)$ avec $x_1 \leq x_2 \leq x_3$, qui minimise la somme $x_1+x_2+x_3$. Si $x_1=0$, $(E)$ devient $x_2^2+x_3^2=0$, donc $x_2=x_3=0$ : contradiction. Donc $x_1, x_2, x_3 \geq 1$.

Étape 3 — Saut de Vieta. On fixe $x_1,x_2$ et on considère $(E)$ comme une équation du second degré en la troisième variable $z$ :

Étape 4 — La descente est stricte. On démontre que $y < x_3$ (ce qui équivaut à $x_3^2 > x_1^2+x_2^2$), en distinguant les cas $x_1=x_2=x_3$, $x_1=x_2\neq x_3$ et $x_1<x_2\leq x_3$. Dans chacun de ces cas, l'hypothèse $\alpha \geq 4$ est essentielle pour obtenir l'inégalité stricte (elle est mise en défaut pour $\alpha=3$, où le triplet de Markov $(1,1,1)$ donne $1+1+1=3=3\times1\times1\times1$).

Étape 5 — Contradiction. Le triplet $(x_1,x_2,y)$ est aussi solution de $(E)$, avec $x_1+x_2+y < x_1+x_2+x_3$, et il est non nul puisque $x_1 \geq 1$. Cela contredit la minimalité choisie à l'étape 2.

L'hypothèse d'une solution non nulle est donc absurde : la seule solution est $(0,0,0)$. $\blacksquare$