Les entiers « n-sommables »

Soit $n\geq2$ un entier. On dit qu'un entier relatif $S$ est $n$-sommable s'il peut s'écrire $S = 1\pm2\pm3\pm\cdots\pm n$ (le premier terme vaut toujours $+1$). Par exemple, $6$ est $4$-sommable car $6=1-2+3+4$.

1. a. Démontrer que $4$ est $4$-sommable.
b. Quel est le plus grand entier $4$-sommable ? Le plus petit ?
c. Déterminer l'ensemble de tous les entiers $4$-sommables.
2. Démontrer que deux entiers $n$-sommables ont toujours la même parité.
3. Démontrer que si $S$ est $n$-sommable, alors $2-S$ l'est aussi.

1. En testant les $2^3=8$ choix de signes pour $\pm2,\pm3,\pm4$, on obtient les valeurs $\{-8,-4,-2,0,2,4,6,10\}$. On trouve bien $4=1+2-3+4$, donc $4$ est $4$-sommable. Le plus grand entier $4$-sommable est $10$ (tous les signes $+$), le plus petit est $-8$ (tous les signes $-$).

2. Soit $S = 1+e_2\cdot2+e_3\cdot3+\cdots+e_n\cdot n$ avec chaque $e_i\in\{+1,-1\}$. Changer un signe $e_k$ en $-e_k$ modifie $S$ d'une quantité $\mp 2k$, qui est toujours paire. Donc tous les entiers $n$-sommables ont la même parité, celle de $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ (la valeur obtenue avec tous les signes $+$).

3. En notant $S = 1+e_2\cdot2+\cdots+e_n\cdot n$, on inverse tous les signes $e_i$ pour $i\geq2$ (le premier terme, égal à $1$, reste fixe). On obtient une nouvelle somme :