Algorithme et suites de nombres

Introduction

En calcul littéral, tu as appris à manipuler des expressions avec des lettres. On peut utiliser une boucle avec une variable qui accumule une valeur pour engendrer, étape par étape, les termes d'une suite de nombres.

Une variable accumulatrice pour une suite

Une suite de nombres est une liste ordonnée de nombres, appelés termes, souvent construits les uns à partir des autres par une même règle. Pour une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison.

📌 Méthode — Engendrer une suite arithmétique avec une boucle

1. Initialiser une variable (le terme) avec la première valeur de la suite.

2. Répéter, à chaque tour de boucle : ajouter la raison à la variable, puis afficher ou noter sa nouvelle valeur.

3. Le nombre de tours de boucle donne le nombre de termes calculés après le premier.

Lien avec le calcul littéral

Si une suite a pour premier terme $u_0$ et pour raison $r$, le terme obtenu après $n$ ajouts successifs de $r$ peut aussi se calculer directement par l'expression littérale :

C'est exactement la même idée qu'une boucle qui ajoute $r$, $n$ fois de suite, à la variable initiale $u_0$.

Exemples

✅ Exemple simple — Suivre une boucle accumulatrice

Programme :

variable terme $\leftarrow$ 5

répéter 3 fois : terme $\leftarrow$ terme + 4

Les valeurs successives de terme sont : $5$, puis $9$, puis $13$, puis $17$. Après le programme, terme vaut $17$.

📘 Exemple intermédiaire — Comparer boucle et formule littérale

Une suite a pour premier terme $u_0 = 2$ et pour raison $r = 6$. Avec une boucle qui ajoute $6$, $4$ fois de suite, on obtient $u_4$.

Par la boucle : $2 \to 8 \to 14 \to 20 \to 26$.

Par la formule : $u_4 = u_0 + 4 \times r = 2 + 4 \times 6 = 2 + 24 = 26$.

Les deux méthodes donnent bien le même résultat : $26$.

🔴 Exemple avancé — Construire le programme à partir de la formule

On veut engendrer la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison $r = -7$ (la suite décroît), et obtenir son 5ème terme après le premier ($u_5$).

Programme :

variable terme $\leftarrow$ 100

répéter 5 fois : terme $\leftarrow$ terme + (-7)

Calcul par la boucle : $100 \to 93 \to 86 \to 79 \to 72 \to 65$.

Vérification par la formule littérale : $u_5 = u_0 + 5 \times r = 100 + 5 \times (-7) = 100 - 35 = 65$.

À retenir

- Une variable accumulatrice se met à jour à chaque tour de boucle en ajoutant toujours la même valeur (la raison).
- Cette méthode permet d'engendrer, terme après terme, une suite arithmétique.
- La formule littérale $u_n = u_0 + n \times r$ donne directement le même résultat qu'une boucle qui ajoute $n$ fois la raison $r$ au premier terme $u_0$.
- Une raison négative correspond à une suite décroissante.