La réciproque et la démonstration de parallélisme

Introduction

Dans la leçon précédente, on a vu que si deux droites sont parallèles, alors certains angles formés par une sécante sont égaux. Mais comment faire si on ne sait pas encore si deux droites sont parallèles, et qu'on veut le prouver ? On utilise la réciproque de cette propriété.

La réciproque

📌 Réciproque (admise)

Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante $(\Delta)$ en formant deux angles correspondants égaux (ou deux angles alternes-internes égaux), alors les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

⚠️ Attention à ne pas confondre les deux sens :

- Propriété directe : on part du parallélisme connu, pour en déduire l'égalité d'angles.

- Réciproque : on part de l'égalité d'angles mesurée ou donnée, pour en déduire le parallélisme.

Rédiger une démonstration de parallélisme

📌 Méthode — Démontrer que deux droites sont parallèles

1. Identifier la sécante commune aux deux droites à étudier.

2. Repérer deux angles correspondants (ou alternes-internes) formés par cette sécante.

3. Calculer ou comparer la mesure de ces deux angles.

4. Si les deux angles sont égaux, conclure avec la réciproque : les deux droites sont parallèles. Rédiger une phrase de conclusion claire, en citant la propriété utilisée.

Exemples

✅ Exemple simple — Conclure avec des angles correspondants égaux

Une sécante $(\Delta)$ coupe $(d_1)$ et $(d_2)$. On mesure deux angles correspondants : $\widehat{x} = 84°$ et $\widehat{y} = 84°$.

Comme $\widehat{x} = \widehat{y}$ et que ce sont des angles correspondants, on conclut : $(d_1) \parallel (d_2)$ (réciproque de la propriété des angles correspondants).

📘 Exemple intermédiaire — Calculer avant de conclure

Une sécante coupe $(d_1)$ et $(d_2)$. Un angle alterne-interne $\widehat{a} = 47°$. L'angle alterne-interne $\widehat{b}$, de l'autre côté, est donné par $\widehat{b} = 180° - 133°$.

Calcul : $\widehat{b} = 180° - 133° = 47°$.

Comme $\widehat{a} = \widehat{b} = 47°$, et que ce sont des angles alternes-internes, on conclut : $(d_1) \parallel (d_2)$.

🔴 Exemple avancé — Démonstration rédigée complète

On donne trois droites $(d_1)$, $(d_2)$ et une sécante $(\Delta)$ qui les coupe. On sait que $(\Delta)$ forme avec $(d_1)$ un angle de $73°$, et avec $(d_2)$ un angle correspondant de $73°$, du même côté de $(\Delta)$.

Rédaction de la démonstration :

« Les angles formés par la sécante $(\Delta)$ avec $(d_1)$ et $(d_2)$ sont des angles correspondants (même côté de la sécante, même position relative).

Or, ces deux angles correspondants sont égaux : $73° = 73°$.

D'après la réciproque de la propriété des angles correspondants, on en déduit que :

»

À retenir

- La réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles à partir de l'égalité d'angles, alors que la propriété directe part du parallélisme déjà connu.
- Si deux angles correspondants sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.
- Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.
- Une démonstration rédigée doit toujours nommer le type d'angles utilisé et citer la réciproque appliquée pour conclure.