Résolution numérique d'équations

Résolution numérique d'équations

1. Position du problème

On veut résoudre numériquement une équation $f(x)=0$ lorsqu'aucune formule explicite n'existe pour la solution (par exemple $x^3+x-1=0$, ou $\cos(x)=x$). On construit des suites $(x_n)$ qui convergent vers une solution $\alpha$, avec une précision contrôlable.

2. Méthode de dichotomie

Principe : si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $f(a)$ et $f(b)$ de signes opposés, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un $\alpha\in\,]a,b[$ tel que $f(\alpha)=0$. La méthode consiste à couper l'intervalle en deux à chaque étape et à garder la moitié où le changement de signe persiste.

Algorithme : on part de $[a_0,b_0]=[a,b]$ avec $f(a_0)f(b_0)<0$. À chaque étape $n$ :
1. Calculer le milieu $m_n = \dfrac{a_n+b_n}{2}$.
2. Si $f(a_n)f(m_n) \leq 0$ : poser $[a_{n+1},b_{n+1}] = [a_n,m_n]$.
3. Sinon : poser $[a_{n+1},b_{n+1}] = [m_n,b_n]$.

À chaque étape, la longueur de l'intervalle est divisée par $2$ : $b_n-a_n = \dfrac{b-a}{2^n}$. La suite $(m_n)$ converge vers une racine $\alpha$, avec l'estimation d'erreur $|m_n-\alpha| \leq \dfrac{b-a}{2^{n+1}}$.

Avantages : convergence garantie dès que $f$ est continue et change de signe (aucune hypothèse de dérivabilité). Inconvénient : convergence lente (dite "linéaire" : il faut environ $3{,}3$ itérations supplémentaires pour gagner un chiffre décimal de précision, car $2^{10}\approx1000$).

Exemple résolu : résoudre $f(x)=x^2-2=0$ sur $[1,2]$ (recherche de $\sqrt2$) par dichotomie, $2$ étapes. $f(1)=-1<0$, $f(2)=2>0$. Étape 1 : $m_0=1{,}5$, $f(1{,}5)=0{,}25>0$, on garde $[1,1{,}5]$. Étape 2 : $m_1=1{,}25$, $f(1{,}25)=-0{,}4375<0$, on garde $[1{,}25,1{,}5]$. Après deux étapes, $\sqrt2 \in [1{,}25,1{,}5]$ (la vraie valeur est $\approx1{,}414$).

3. Méthode de Newton (Newton-Raphson)

Principe : on linéarise $f$ au voisinage d'un point courant $x_n$ via la tangente, et on prend pour $x_{n+1}$ l'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses.

Formule de récurrence :

(en supposant $f'(x_n)\neq0$).

Justification : l'équation de la tangente au graphe de $f$ en $x_n$ est $y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n)$. On cherche son intersection avec l'axe $y=0$ : $0=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n) \iff x = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

Exemple résolu : approcher $\sqrt2$ (racine de $f(x)=x^2-2$) par Newton, en partant de $x_0=1{,}5$. $f'(x)=2x$. $x_1 = 1{,}5 - \dfrac{1{,}5^2-2}{2\times1{,}5} = 1{,}5 - \dfrac{0{,}25}{3} = 1{,}5-0{,}0833\ldots \approx 1{,}4167$. $x_2 = 1{,}4167 - \dfrac{1{,}4167^2-2}{2\times1{,}4167} \approx 1{,}4167 - \dfrac{0{,}00695}{2{,}8334} \approx 1{,}41422$, déjà très proche de $\sqrt2\approx1{,}41421356$.

4. Convergence de la méthode de Newton

Théorème (convergence locale, admis) : si $f$ est de classe $\mathcal C^2$ au voisinage d'une racine simple $\alpha$ (c'est-à-dire $f(\alpha)=0$ et $f'(\alpha)\neq0$), et si $x_0$ est suffisamment proche de $\alpha$, alors la suite de Newton $(x_n)$ converge vers $\alpha$, et la convergence est quadratique : il existe $C>0$ tel que

Conséquence pratique : la convergence quadratique signifie (grossièrement) que le nombre de décimales correctes double à chaque itération — bien plus rapide que la dichotomie. C'est ce qu'on observe dans l'exemple ci-dessus : $2$ itérations suffisent pour $5$ décimales correctes.

Limites de la méthode : la convergence n'est garantie que localement (un mauvais choix de $x_0$ peut diverger ou converger vers une autre racine), et elle nécessite de calculer $f'$ à chaque étape. Si $f'(\alpha)=0$ (racine multiple), la convergence devient seulement linéaire.

5. Comparaison dichotomie / Newton

|---|---|---|

Stratégie pratique courante : utiliser quelques itérations de dichotomie pour encadrer grossièrement la racine et obtenir un bon point de départ, puis basculer sur Newton pour la précision finale rapide.

6. Exemple résolu de synthèse

Énoncé : trouver une valeur approchée de la racine de $f(x)=x^3-x-2$ sur $[1,2]$ par Newton, en partant de $x_0=1{,}5$.

Résolution : $f'(x)=3x^2-1$. $f(1{,}5)=3{,}375-1{,}5-2=-0{,}125$. $f'(1{,}5)=3\times2{,}25-1=5{,}75$. $x_1 = 1{,}5-\dfrac{-0{,}125}{5{,}75} = 1{,}5+0{,}0217 \approx 1{,}5217$. Une itération supplémentaire affinerait encore cette estimation (la racine exacte est $\approx1{,}5214$).