Interpolation et approximation de fonctions

Interpolation et approximation de fonctions

1. Le problème de l'interpolation

Étant donné $n+1$ points $(x_0,y_0),\ldots,(x_n,y_n)$ avec les $x_i$ deux à deux distincts, on cherche une fonction simple (le plus souvent un polynôme) passant exactement par tous ces points. C'est le problème de l'interpolation.

Motivation : on dispose souvent de valeurs mesurées d'une fonction $f$ en quelques points seulement (mesures expérimentales, table de valeurs), et on veut estimer $f$ entre ces points, ou en construire une approximation calculable simplement (un polynôme s'évalue avec des additions et multiplications, contrairement à $\sin$, $\ln$, etc.).

2. Existence et unicité du polynôme interpolateur

Théorème : étant donné $n+1$ points $(x_i,y_i)_{0\leq i\leq n}$ avec les $x_i$ distincts, il existe un unique polynôme $P$ de degré $\leq n$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour tout $i$.

Idée d'unicité : si $P$ et $Q$ conviennent tous deux, $P-Q$ est un polynôme de degré $\leq n$ ayant $n+1$ racines distinctes ($x_0,\ldots,x_n$), donc $P-Q=0$.

3. Polynômes de base de Lagrange

Pour $0\leq i\leq n$, on définit le polynôme de Lagrange associé à $x_i$ :

Ce polynôme a la propriété remarquable $L_i(x_j) = \begin{cases}1 & \text{si } j=i \\ 0 & \text{si } j\neq i\end{cases}$ (on dit que $L_i(x_j)=\delta_{ij}$, le symbole de Kronecker).

4. Formule d'interpolation de Lagrange

Le polynôme interpolateur cherché s'écrit alors simplement :

On vérifie immédiatement que $P(x_j) = \sum_i y_i L_i(x_j) = y_j$ (seul le terme $i=j$ survit, valant $y_j\times1$).

Exemple résolu : interpoler les points $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,7)$ par un polynôme de degré $\leq2$.

En développant : $P(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{2} - 3x(x-2) + \frac{7x(x-1)}{2}$. Après simplification (mise sur dénominateur commun $2$) : $P(x) = \frac{(x^2-3x+2) -6x(x-2) + 7x(x-1)}{2} = \frac{x^2-3x+2-6x^2+12x+7x^2-7x}{2} = \frac{2x^2+2x+2}{2} = x^2+x+1$. On vérifie : $P(0)=1$ ✓, $P(1)=1+1+1=3$ ✓, $P(2)=4+2+1=7$ ✓.

5. Inconvénients de Lagrange et alternative (différences divisées de Newton)

La formule de Lagrange est élégante mais coûteuse à recalculer entièrement si l'on ajoute un nouveau point. La forme de Newton (différences divisées), hors-programme détaillé ici, permet une construction incrémentale ; nous nous concentrons sur la formule de Lagrange comme outil conceptuel de référence.

6. Erreur d'interpolation

Si $f$ est la fonction que l'on cherche à approcher (et dont les $y_i=f(x_i)$ sont les valeurs exactes aux points d'interpolation), et $f$ est $(n+1)$ fois dérivable, l'erreur d'interpolation en un point $x$ est donnée (admis) par :

pour un certain $\xi$ dans le plus petit intervalle contenant $x,x_0,\ldots,x_n$ (formule analogue au reste de Taylor-Lagrange).

Conséquences pratiques :
- L'erreur s'annule bien aux points d'interpolation $x_i$ (le produit $\prod(x-x_i)$ s'annule).
- L'erreur dépend de la régularité de $f$ (dérivée $(n+1)$-ième) et de l'écartement des points $x_i$.
- Attention au phénomène de Runge : augmenter le degré du polynôme interpolateur (en ajoutant des points équirépartis) ne garantit pas une meilleure approximation — l'erreur peut au contraire exploser près des bords de l'intervalle pour certaines fonctions (exemple classique : $f(x)=\frac{1}{1+25x^2}$ sur $[-1,1]$). C'est pourquoi en pratique on préfère souvent l'interpolation par morceaux (splines) à l'interpolation par un seul polynôme de haut degré.

7. Exemple résolu d'estimation d'erreur

Énoncé : on interpole $f(x)=e^x$ aux points $x_0=0$, $x_1=1$ par un polynôme de degré $1$ (la droite passant par $(0,1)$ et $(1,e)$). Majorer l'erreur en $x=0{,}5$.

Résolution : $f''(x)=e^x \leq e \approx 2{,}72$ sur $[0,1]$. La formule du reste donne $|f(0{,}5)-P(0{,}5)| \leq \dfrac{e}{2!}\,|0{,}5-0|\,|0{,}5-1| = \dfrac{e}{2}\times0{,}5\times0{,}5 = \dfrac{e}{8} \approx 0{,}34$. L'erreur réelle est en fait bien plus petite (environ $0{,}067$), cette estimation étant volontairement majorante (pire cas).