Anneaux et idéaux

Anneaux et idéaux

1. Définition d'un anneau

Un anneau $(A,+,\times)$ est un ensemble muni de deux lois vérifiant :
- $(A,+)$ est un groupe abélien (neutre $0$, opposés)
- $\times$ est associative, distributive sur $+$, et admet un neutre $1$
- (Non nécessairement commutative, et les éléments peuvent ne pas avoir d'inverse multiplicatif)

Exemples : $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}[X]$, $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

2. Corps et intégrité

Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.

Un anneau commutatif est intègre si $ab=0\Rightarrow a=0$ ou $b=0$ (pas de diviseur de zéro).

Exemples : $\mathbb{Z}$ est intègre mais pas un corps. $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sont des corps.

3. Idéaux

Un idéal de $A$ est un sous-groupe $(I,+)$ tel que $\forall a\in A, \forall x\in I$: $ax\in I$ et $xa\in I$.

Idéal principal : $aA=\{ax:x\in A\}=\langle a\rangle$.

Théorème : Dans $\mathbb{Z}$, tout idéal est principal : $I=n\mathbb{Z}$ pour un certain $n\geq0$.

4. Anneau quotient

Si $I$ est un idéal de $A$, l'anneau quotient $A/I$ est l'ensemble des classes $\bar a=a+I$, muni des opérations $\bar a+\bar b=\overline{a+b}$ et $\bar a\cdot\bar b=\overline{ab}$.

$A/I$ est un corps $\Leftrightarrow$ $I$ est un idéal maximal.

5. Idéaux premiers et maximaux

- Idéal premier : $ab\in I\Rightarrow a\in I$ ou $b\in I$. $A/I$ est intègre.
- Idéal maximal : il n'existe pas d'idéal $J$ avec $I\subsetneq J\subsetneq A$. $A/I$ est un corps.

Tout idéal maximal est premier. Dans $\mathbb{Z}$ : les idéaux premiers non nuls sont $p\mathbb{Z}$ ($p$ premier).