Dérivées partielles et gradient

Dérivées partielles et gradient

1. Fonctions de plusieurs variables

On étudie ici des fonctions $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, le plus souvent $n=2$ ou $n=3$ pour fixer les idées (par exemple $f(x,y)$ ou $f(x,y,z)$). Une telle fonction associe un nombre réel à un point de $\mathbb{R}^n$ — pensez à une altitude $f(x,y)$ au-dessus d'un point $(x,y)$ d'une carte.

2. Dérivée partielle

Soit $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ et $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ en $(a,b)$ est

quand cette limite existe. C'est la dérivée usuelle de la fonction d'une seule variable $x\mapsto f(x,b)$ obtenue en figeant $y=b$. De même pour $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$, en figeant $x=a$.

Méthode pratique : pour calculer $\partial f/\partial x$, on dérive $f$ par rapport à $x$ en traitant $y$ (et les autres variables) comme des constantes.

Exemple : $f(x,y) = x^2y + 3y^3$. On a $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (on dérive $x^2y$ comme $x^2\times(\text{constante } y)$, et $3y^3$ est constant en $x$ donc sa dérivée par rapport à $x$ est nulle). Et $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 9y^2$ (on dérive $x^2y$ comme $(\text{constante } x^2)\times y$, et $3y^3$ donne $9y^2$).

3. Le vecteur gradient

Le gradient de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ en un point $a$, lorsque toutes les dérivées partielles existent, est le vecteur

Pour $n=2$ : $\nabla f(a,b) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b), \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\right)$.

Exemple (suite) : pour $f(x,y)=x^2y+3y^3$, $\nabla f(x,y) = (2xy,\, x^2+9y^2)$. Au point $(1,2)$ : $\nabla f(1,2) = (2\times1\times2,\, 1+9\times4) = (4, 37)$.

4. Interprétation géométrique du gradient

Direction de plus forte pente : $\nabla f(a)$ pointe dans la direction où $f$ croît le plus rapidement au voisinage de $a$, et $\|\nabla f(a)\|$ mesure cette pente maximale. C'est pourquoi en optimisation, on utilise l'algorithme de "descente de gradient" : pour minimiser $f$, on se déplace dans la direction $-\nabla f$.

Dérivée directionnelle : dans une direction unitaire $\vec{u}$, le taux de variation de $f$ en $a$ est

(produit scalaire). Cette quantité est maximale (égale à $\|\nabla f(a)\|$) lorsque $\vec u$ est colinéaire à $\nabla f(a)$ et de même sens, et minimale (vaut $-\|\nabla f(a)\|$) dans le sens opposé.

Lien avec les lignes de niveau : le gradient $\nabla f(a)$ est orthogonal à la ligne (ou surface) de niveau de $f$ passant par $a$, c'est-à-dire à l'ensemble $\{x : f(x)=f(a)\}$.

5. Différentiabilité

$f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ (nécessairement $L(h) = \nabla f(a)\cdot h$ si elle existe) telle que

Autrement dit, $f$ admet une "meilleure approximation affine" au voisinage de $a$ : le plan tangent au graphe de $f$ en $a$.

Lien différentiabilité $\Leftrightarrow$ dérivées partielles :
- Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ admet toutes ses dérivées partielles en $a$, et $L(h)=\nabla f(a)\cdot h$.
- La réciproque est fausse en général : l'existence des dérivées partielles n'entraîne pas la différentiabilité.
- Théorème (condition suffisante pratique) : si les dérivées partielles de $f$ existent et sont continues sur un voisinage de $a$, alors $f$ est différentiable en $a$. On dit alors que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$. C'est le critère utilisé en pratique dans la quasi-totalité des exemples concrets (polynômes, fonctions usuelles).

Exemple de non-différentiabilité malgré l'existence des dérivées partielles : $f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y)\neq(0,0)$, $f(0,0)=0$. On calcule $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0$ (car $f(h,0)=0$ pour $h\neq0$). De même $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$. Pourtant $f$ n'est même pas continue en $(0,0)$ (en suivant $y=x$, $f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac12$ ne tend pas vers $f(0,0)=0$), donc $f$ ne peut pas être différentiable en $(0,0)$ (la différentiabilité implique la continuité).

6. Plan tangent

Si $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ est différentiable en $(a,b)$, le graphe de $f$ admet un plan tangent en $(a,b,f(a,b))$ d'équation

Exemple résolu : soit $f(x,y) = x^2+y^2$. Au point $(1,1)$ : $f(1,1)=2$, $\nabla f(1,1) = (2,2)$. Le plan tangent a pour équation $z = 2 + 2(x-1)+2(y-1) = 2x+2y-2$.