Matrice hessienne

Matrice hessienne

1. Dérivées partielles secondes

Soit $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ admettant des dérivées partielles. On peut dériver à nouveau ces dérivées partielles : on obtient les dérivées partielles secondes, notées

On note aussi $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$.

Exemple : $f(x,y) = x^3y^2$. On a $f_x = 3x^2y^2$, $f_y=2x^3y$. Puis $f_{xx} = 6xy^2$, $f_{yy}=2x^3$, $f_{xy} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3y) = 6x^2y$, et $f_{yx} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2) = 6x^2y$. On remarque $f_{xy}=f_{yx}$.

2. Théorème de Schwarz

Théorème (Schwarz) : si $f$ admet des dérivées partielles secondes $f_{xy}$ et $f_{yx}$ continues au voisinage d'un point $a$, alors elles sont égales en $a$ :

On dit que les dérivées croisées coïncident. Pour toutes les fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, fonctions trigonométriques et leurs combinaisons), cette hypothèse de continuité est automatiquement satisfaite, donc on a toujours $f_{xy}=f_{yx}$ en pratique dans ce cours.

Contre-exemple (hors hypothèses de Schwarz, pour la culture) : il existe des fonctions exotiques pour lesquelles $f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0)$ — cela ne peut se produire que lorsque ces dérivées secondes ne sont pas continues en ce point.

3. La matrice hessienne

La matrice hessienne de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ en un point $a$ est la matrice carrée $n\times n$ des dérivées partielles secondes :

Par le théorème de Schwarz (sous hypothèse de continuité, presque toujours vérifiée en pratique), $H_f(a)$ est une matrice symétrique.

Exemple (suite) : pour $f(x,y)=x^3y^2$, en un point général $(x,y)$ :

4. Formule de Taylor à l'ordre 2

Si $f$ est deux fois différentiable en $a$, on a le développement de Taylor :

où $h^T H_f(a) h$ est une forme quadratique en $h$. C'est cette forme quadratique qui va déterminer, au voisinage d'un point critique ($\nabla f(a)=0$), si $f$ présente un minimum, un maximum, ou un point-selle — c'est l'objet de la leçon suivante.

5. Signe d'une forme quadratique en dimension 2

Pour $n=2$, $H_f(a) = \begin{pmatrix} r & s \\ s & t\end{pmatrix}$ avec $r=f_{xx}(a)$, $s=f_{xy}(a)$, $t=f_{yy}(a)$. On définit le déterminant (parfois noté $\Delta$ ou $\operatorname{disc}$) :

- Si $\det H_f(a) > 0$ et $r>0$ (ou $t>0$, même signe) : la forme quadratique est définie positive.
- Si $\det H_f(a) > 0$ et $r<0$ : la forme quadratique est définie négative.
- Si $\det H_f(a) < 0$ : la forme quadratique est indéfinie (signature mixte).
- Si $\det H_f(a) = 0$ : cas dégénéré, non concluant à cet ordre.

Cette classification se retrouve aussi via les valeurs propres de $H_f(a)$ (matrice symétrique, donc diagonalisable avec valeurs propres réelles) : définie positive $\iff$ les deux valeurs propres sont $>0$ ; définie négative $\iff$ les deux sont $<0$ ; indéfinie $\iff$ les deux valeurs propres sont de signes opposés.

6. Lien avec la convexité locale

Convexité locale : si $H_f(a)$ est définie positive (resp. semi-définie positive sur tout un voisinage), le graphe de $f$ est localement convexe autour de $a$ (il se courbe "vers le haut", comme un bol). Si $H_f$ est définie positive sur tout l'espace, $f$ est convexe globalement.

Exemple résolu : soit $f(x,y) = x^2+4y^2$. $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}2&0\\0&8\end{pmatrix}$ en tout point (matrice constante car $f$ est un polynôme de degré $2$). $\det H_f = 16>0$ et $r=2>0$ : la hessienne est définie positive partout. $f$ est donc convexe sur tout $\mathbb{R}^2$, et son graphe est un paraboloïde elliptique tourné "vers le haut".