Dérivées de sinus et cosinus

Deux limites usuelles

Avant d'établir les formules de dérivation, on admet deux limites fondamentales, qui traduisent le comportement du cercle trigonométrique autour de $0$ :

Idée géométrique : pour un petit angle $x$ (en radians), la longueur de l'arc de cercle, la longueur de la corde et la valeur de $\sin x$ sont presque confondues, ce qui explique que $\sin x$ se comporte comme $x$ lorsque $x$ est proche de $0$. De même, $\cos x$ se rapproche très vite de $1$, et la "vitesse" de ce rapprochement est nulle par rapport à $x$.

Ces deux limites permettent de retrouver les dérivées de sinus et cosinus en $0$, puis en tout point grâce aux formules d'addition.

## Dérivées de sinus et cosinus

> Théorème. Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $x$ :
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Ces deux formules sont à connaître parfaitement : on retiendra que dériver $\sin$ donne $\cos$, et que dériver $\cos$ donne $-\sin$ (apparition d'un signe moins).

Remarque : en dérivant une seconde fois, on retrouve $(\sin x)'' = -\sin x$ et $(\cos x)'' = -\cos x$ : chaque fonction est, à un signe près, sa propre dérivée seconde.

## Dérivée des fonctions composées $\sin(ax+b)$ et $\cos(ax+b)$

Soient $a$ et $b$ deux réels. En utilisant la formule de dérivation des fonctions composées $(u\circ v)' = v' \times u'(v)$ avec $v(x) = ax+b$, on obtient :

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Le coefficient $a$ "sort" devant la dérivée, exactement comme pour la dérivée de $e^{ax+b}$.

Exemple complet : soit $f(x) = \sin(2x+1) + 3\cos(x)$, définie sur $\mathbb{R}$.

On dérive terme à terme :
- pour $\sin(2x+1)$ : ici $a=2$, $b=1$, donc la dérivée est $2\cos(2x+1)$ ;
- pour $3\cos(x)$ : la dérivée est $3\times(-\sin x) = -3\sin x$.

On obtient donc :

Calculons par exemple $f'(0)$ :

On retrouve ainsi une valeur numérique exacte à partir d'une expression dérivée correctement construite.