Projections orthogonales, matrices orthogonales et isométries

Projections orthogonales, matrices orthogonales et isométries

1. Définition de la projection orthogonale sur un sous-espace

Soit $E$ un espace euclidien de dimension finie et $F$ un sous-espace de $E$. D'après le théorème du supplémentaire orthogonal, $E = F \oplus F^\perp$, donc tout $x \in E$ s'écrit de façon unique $x = x_F + x_{F^\perp}$ avec $x_F \in F$ et $x_{F^\perp} \in F^\perp$. Le vecteur $x_F$ est appelé projection orthogonale de $x$ sur $F$, notée $p_F(x)$.

Formule pratique : si $(e_1,\dots,e_p)$ est une base orthonormée de $F$, alors :

Si l'on dispose seulement d'une base orthogonale (non normée) $(u_1,\dots,u_p)$ de $F$, la formule devient :

Cas d'une droite : si $F = \mathrm{vect}(a)$ avec $a \neq 0$, $p_F(x) = \dfrac{\langle x,a\rangle}{\|a\|^2}\, a$.

2. Exemple résolu : projection sur une droite

Projetons $x=(3,2,1)$ sur la droite $F=\mathrm{vect}(a)$ avec $a=(1,1,1)$ dans $\mathbb{R}^3$ canonique.

On calcule $\langle x,a\rangle = 3+2+1=6$ et $\|a\|^2 = 1+1+1=3$. Donc :

Le résidu (composante orthogonale) est $x - p_F(x) = (3,2,1)-(2,2,2) = (1,0,-1)$. On vérifie $\langle (1,0,-1), a\rangle = 1+0-1=0$ : le résidu est bien orthogonal à $F$, ce qui confirme le calcul.

3. Exemple résolu : projection sur un plan

Projetons $w=(2,-1,3)$ sur le plan $H = \{(x,y,z) : x+y+z=0\}$, qui est l'orthogonal de la droite $\mathrm{vect}(a)$ avec $a=(1,1,1)$.

Méthode : $H = (\mathrm{vect}(a))^\perp$, donc $p_H(w) = w - p_{\mathrm{vect}(a)}(w)$. On calcule $\langle w,a\rangle = 2-1+3=4$ et $\|a\|^2=3$, donc $p_{\mathrm{vect}(a)}(w) = \dfrac{4}{3}(1,1,1)$. Ainsi :

Vérification : la somme des coordonnées de $p_H(w)$ vaut $\dfrac23-\dfrac73+\dfrac53 = \dfrac{2-7+5}{3}=0$ : le projeté appartient bien à $H$.

4. Caractérisation par minimisation de la distance

Théorème : pour $x \in E$ et $F$ sous-espace de $E$, le projeté $p_F(x)$ est l'unique point de $F$ qui minimise la distance à $x$ :

Démonstration : pour tout $y \in F$, écrivons $x - y = (x-p_F(x)) + (p_F(x)-y)$. Le premier terme appartient à $F^\perp$ (par définition de $p_F(x)$) et le second à $F$ (différence de deux éléments de $F$) : ces deux vecteurs sont donc orthogonaux. Par le théorème de Pythagore :

avec égalité si et seulement si $\|p_F(x)-y\|=0$, c'est-à-dire $y = p_F(x)$. $\square$

Ce résultat est le principe de la méthode des moindres carrés : pour résoudre approximativement un système linéaire ${}Ax=b$ sans solution exacte, on cherche $x$ qui minimise $\|Ax-b\|$, ce qui revient à projeter $b$ orthogonalement sur l'image de $A$.

5. Exemple résolu : moindres carrés en aperçu

Reprenons $F = \mathrm{vect}(e_1,u_2)$ avec $e_1=(1,1,0)$ et $u_2 = \left(\frac12,-\frac12,1\right)$ (base orthogonale obtenue par Gram-Schmidt dans la leçon précédente), et projetons $w=(1,2,3)$ sur $F$.

On calcule $\langle w,e_1\rangle = 1+2+0=3$, $\|e_1\|^2=2$, coefficient $\dfrac32$. Puis $\langle w,u_2\rangle = \frac12 - 1 + 3 = \dfrac52$, $\|u_2\|^2=\dfrac32$, coefficient $\dfrac{5/2}{3/2}=\dfrac53$. Donc :

Le résidu est $w - p_F(w) = \left(\frac13-\frac43, \dots\right)$, plus précisément $\left(1-\frac73,\, 2-\frac23,\, 3-\frac53\right) = \left(-\frac43,\,\frac43,\,\frac43\right)$, de norme au carré $\dfrac{16}{9}\times3=\dfrac{16}{3}$. Cette quantité $\|w-p_F(w)\|^2 = \dfrac{16}{3}$ est la distance au carré minimale de $w$ à $F$.

6. Matrices orthogonales

Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite orthogonale si ${}^tA\, A = I_n$, ce qui équivaut à $A\,{}^tA = I_n$ et donc à $A^{-1} = {}^tA$.

Théorème : $A$ est orthogonale si et seulement si ses colonnes (vues comme vecteurs de $\mathbb{R}^n$) forment une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ pour le produit scalaire canonique.

Conséquence sur le déterminant : si $A$ est orthogonale, $\det({}^tA\,A) = \det(A)^2 = \det(I_n)=1$, donc $\det A = \pm1$. On distingue les matrices orthogonales directes ($\det A = 1$, rotations) des indirectes ($\det A = -1$, réflexions/symétries).

7. Propriétés : conservation du produit scalaire et des normes

Théorème : si $A$ est une matrice orthogonale, alors pour tous $X,Y \in \mathbb{R}^n$ :

Démonstration : $\langle AX,AY\rangle = {}^t(AX)(AY) = {}^tX\,{}^tA\,A\,Y = {}^tX\,I_n\,Y = {}^tX\,Y = \langle X,Y\rangle$. En prenant $Y=X$, on obtient $\|AX\|^2 = \|X\|^2$, soit $\|AX\|=\|X\|$. $\square$

Une application linéaire qui conserve le produit scalaire (ou, de façon équivalente, qui conserve les normes) est appelée isométrie vectorielle. Les matrices orthogonales sont exactement les matrices des isométries vectorielles de $\mathbb{R}^n$ exprimées dans une base orthonormée.

8. Exemples en dimension 2 : rotation et symétrie

Rotation d'angle $\theta$ : la matrice $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ est orthogonale : on vérifie ${}^tR_\theta R_\theta = I_2$ car $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. Son déterminant est $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ : c'est une isométrie directe.

Exemple numérique : pour $\theta = 60° = \dfrac{\pi}{3}$, $\cos\theta = \dfrac12$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$, donc $R_\theta = \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \end{pmatrix}$. Appliquée au vecteur $(1,0)$, elle donne $\left(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$, qui est bien de norme $\sqrt{\frac14+\frac34}=1$ comme $(1,0)$.

Symétrie orthogonale par rapport à la droite $y=x$ : la matrice $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est orthogonale (${}^tS\,S = S^2 = I_2$ car $S$ échange les coordonnées deux fois de suite redonne l'identité). Son déterminant est $0\times0-1\times1=-1$ : c'est une isométrie indirecte.

9. Synthèse

La projection orthogonale sur un sous-espace $F$ réalise le meilleur compromis (au sens de la distance euclidienne) entre un vecteur quelconque et le sous-espace $F$ — c'est le principe fondateur des moindres carrés. Les matrices orthogonales, caractérisées par ${}^tA A = I_n$, représentent exactement les isométries vectorielles : elles préservent à la fois le produit scalaire et les normes, et se classent en rotations ($\det = 1$) et réflexions ($\det = -1$). Ces trois leçons forment ainsi un socle cohérent : produit scalaire $\to$ orthogonalité $\to$ projections et isométries, qui structure toute la géométrie euclidienne en dimension finie.